Завдання першого номера 1974 року
1. У ювеліра під час шліфування розколовся діамант. Його вартість знизилася на 32%. Яка частина діаманта відкололася, якщо вартість діаманта пропорційна квадрату його ваги?
2. Чому набігають на берег хвилі «скручуються»?
Відповідь. Поблизу берега (на дрібних місцях) через тертя води об дно швидкість частинок води тим більше, чим вище вони над дном. Тому верхні шари води «обганяють» нижні.
3. Скільки вулканів налічується на планеті, якщо в шуканому числі десятків на 3 більше, ніж сотень, а одиниць на 4 менше десятків, причому полусумма всіх цифр числа дорівнює цифрі десятків?
4. У склянку з цукром і в стакан без цукру налили чай з одного чайника. В якому склянці чай холодніше?
Відповідь. Чай холодніше в склянці з цукром.
5. У рівності (Р + О + М + А) 2 = РОМА визначте число РОМА.
6. Металевий стрижень урівноважений в горизонтальному положенні на вузькій опорі. Опора знаходиться на середині стрижня. Чи збережеться рівновага, якщо одну половину зігнути навпіл?
Завдання другого номера 1974 року
Група школярів купувала різні альбоми. Кожен учень купував альбоми одного типу, причому стільки, скільки коштував один альбом цього типу. Всі хлопці розплачувалися монетами по 10 копійок, кожен отримав здачу, і все здачі були різні. Яку здачу могли отримувати школярі і яке найбільше число школярів могло бути в цій групі?
2. По річці пливе весловому човен і поряд з нею тріска. Що легше для весляра: обігнати тріску на кілька метрів або на стільки ж відстати від неї?
Відповідь. Однаково важко.
3. У наступному прикладі цифри замінені буквами:
ДЕТАЛЬ + ДЕТАЛЬ = ИЗДЕЛИЕ.
(Однакові - однаковими, різні - різними.) Відновіть запис.
Відповідь. 684 259 · 2 = 1 368 518.
4. На різних берегах струмка стоять доросла людина і дитина. У кожного в руках по дошці, трохи коротшою, ніж відстань між берегами. Чи можуть вони помінятися місцями?
Відповідь. Якщо доросла людина значно важче, то немає, а якщо маси можна порівняти, то можуть:
Знайдіть число, сума цифр якого дорівнює різниці між числом 328 і самим числом.
6. Вагон освітлений шістьма лампочками, з'єднаними послідовно. На кожній з них написано: 110 вольт, 25 ват. Одна з лампочок перегоріла, і її замінили іншою, на якій написано: 110 вольт, 40 ват. Чи буде ця лампочка горіти яскравіше інших?
Завдання третього номера 1974 року
1. На протилежних берегах річки навпроти один одного ростуть дві пальми. Висота однієї з них 10 метрів, інший - 15 метрів; відстань між основами пальм дорівнює 25 метрам. На верхівці кожної пальми сидить птах. Раптово обидві птиці помітили рибу, виплив на поверхню річки між пальмами. Птахи кинулися до риби і досягли її одночасно, пролетівши одне і те ж відстань. На якій відстані від підстави вищою пальми виплила риба?
2. На вулиці йде дощ. В якому випадку відро, що стоїть в кузові вантажівки, швидше наповниться: коли вантажівка стоїть або коли він рухається?
3. На лузі росте трава. Пустили на луг 9 корів, вони спустошили луг за 4 дні. Якби на луг пустили 8 корів, то вони з'їли б всю траву за 6 днів. Скільки корів можуть годуватися на лузі весь час, поки росте трава?
4. На чашкових вагах урівноважена свічка. Чи порушиться рівновага, коли свічку запалять? Якщо порушиться, то в який бік?
5. Щоб визначити невідоме опір, маючи в своєму розпорядженні амперметр і вольтметр, один раз зібрали схему, показану на лівому малюнку, іншим разом - на правому. Виміряли напругу і силу струму. В якому випадку отримане значення опору ближче до істинного?
Завдання четвертого номера 1974 року
1. Вантажі в місто A передбачається доставляти по річці до деякого пункту B. а потім автомашиною по шосе з B в A. Ціна перевезення по річці вдвічі менше, ніж по шосе. Як провести шосе AB. щоб витрати на перевезення були найменшими?
2. У посудині з водою утримують під самою поверхнею води два целулоїдних кульки однакових мас, але різних діаметрів. Якщо відпустити кульки, який з них підскочить вище? (Сили опору не зважайте.)
3. Прогулюючись по місту, троє студентів-математиків помітили, що водій автомашини грубо порушив правила вуличного руху. Чотиризначний номер машини студенти не запам'ятали, але кожен з них примітив по одній його особливості:- дві перші цифри числа були однакові;
- дві останні цифри збігалися;
- число було точним квадратом.
4. Є металевий заряджений кульку на ізолюючої ручці. Яким чином можна заряд цієї кульки повністю передати електроскопа?
5. На площі встановлено 5 гучномовців, розбитих на дві групи: в одній 2, в іншій - 3 апарати. Відстань між групами дорівнює 50 м. Де треба встати, щоб звуки обох груп були чутні з однаковою силою?
Завдання п'ятого номера 1974 року
1. З циліндричного колоди треба вирізати прямокутний брус найбільшого обсягу. Якої форми має бути перетин цього бруса?
2. З прямокутного металевого листа треба зігнути жолоб з перетином у формі равнобочной трапеції. Який ширини повинні бути бічні смуги і під яким кутом треба їх відігнути, щоб перетин жолоба мало найбільшу площу?
3. Чому гасова лампа гасне, якщо подути зверху в її скляний ковпак?
Відповідь. Усередині скляного ковпака палаючої гасової лампи утворюються негорючі продукти. Нагріваючись, вони розширюються і піднімаються вгору. Коли ви дуеті зверху в ковпак лампи, то «заганяєте» ці негорючі речовини назад, до полум'я, і воно гасне, позбавлене вільного доступу повітря.
4. Навчіться визначати масу тіла за допомогою неправильних чашкових ваг і правильних гир.
Відповідь. Врівноважити на вагах будь-який вантаж, який свідомо важче тіла, яке потрібно зважити. Тепер на чашу з гирями покладемо зважують тіло і знімемо кілька гир, щоб відновити рівновагу. Маса знятих гир дорівнює масі тіла.
5. Чому вода в ополонці не піднімається до верхньої кромки льоду?
Вказівка. Щільність води більше щільності льоду.
6. Сторони прямокутника виражаються цілими числами. Якими повинні вони бути, щоб периметр прямокутника дорівнював його площі?
Відповідь. 4 × 4 або 3 × 6.
Завдання шостого номера 1974 року
1. Чому, коли ви наливаєте воду в пляшку через лійку, вода у воронці іноді «застряє»?
2. Людина сидить на стільці і відкидається назад так, що ледь зберігає рівновагу. Що станеться, якщо людина буде піднімати ноги, випрямивши коліна?
4. При ревізії торгових книг магазину один із записів у книзі виявилася залитою чорнилом. Неможливо було розібрати число проданих метрів, але було ясно, що число це ціле. Було також зрозуміло, що виручена сума не перевищує 1000 рублів. Чи міг ревізор відновити запис?
5. Знайдіть двозначне число, що дорівнює сумі числа десятків і квадрата числа одиниць.
Завдання сьомого номера 1974 року
1. Магічним квадратом називаємо квадратну таблицю цілих позитивних чисел, в якій суми чисел, що стоять в кожному стовпці, в кожному рядку і на діагоналі, рівні. Саму цю суму називаємо сумою магічного квадрата. Доведіть, що сума магічного квадрата розміром 3 × 3 завжди ділиться на 3.
2. У вашому розпорядженні «прямий» магніт і голка. Як визначити, намагнічена чи голка?
3. Саша і Оля по черзі ставлять хрестики і нулики на поля шахівниці розміром 9 × 9. Перший хід робить Оля в центр дошки. Саша ходить в одну з 8 вільних клітин, які оточують Олін хід, і так далі. Ходити можна тільки в вільні клітини. Виграє той, хто поставить свій знак в одну з чотирьох кутових клітин (або ж противнику нікуди ходити). Доведіть, що Оля завжди може виграти.
4. Два кульки однакової маси - свинцевий і сталевий - падають з однакової висоти на пісок. Який з них більше нагріється?
5. Є шматок паперу. Його можна розірвати на 8 або на 12 частин, кожен новий шматок також можна розірвати на 8 або на 12 частин або залишити цілим, і так далі. а) Чи можна отримати таким чином 60 шматків? б) Доведіть, що можна отримати будь-яке число шматків, більше 60.
Завдання восьмого номера 1974 року
1. Восьмикласники побудовані в шеренгу. Перед кожним з них стоїть семикласник, який нижче його зростанням. Довести, що якщо шеренги семикласників і восьмикласників побудувати по зростанню, то як і раніше кожен восьмикласник буде вище стоїть перед ним семикласника.
2. Хлопчик зловив в річці рибу. Йому захотілося тут же хоча б приблизно визначити масу цієї риби. Як він може це зробити, якщо у нього є рівна міцна вудка, а в своїх запасах він знайшов буханку хліба масою 1 кг?
3. Число n 2 + n + 1 не ділиться на 1974 ні при якому цілому n. Доведіть це.
4. Людина, увійшовши з одного кінця довгого коридору, включив лампу, а пройшовши коридор, вимкнув її. Намалюйте схему проводки, щоб лампочку можна було включати і вимикати з обох кінців коридору.
5. Дана шахівниця розміром 100 × 100 клітин. Дві клітини називаємо сусідніми, якщо у них є спільна сторона. У клітинах цієї дошки стоять цілі числа, причому числа, що стоять в сусідніх клітках, відрізняються не більше ніж на 20. Доведіть, що на дошці є три однакових числа.
6. Є алюмінієвий кулька об'ємом 20 кубічних сантиметрів і масою 18 грамів. Як визначити, суцільний він або всередині нього є повітряна порожнина? Чи можна з'ясувати, знаходиться ця порожнина в центрі кулі або близько його поверхні?
Завдання дев'ятого номера 1974 року
1. У класі навчається менше 50 школярів. За контрольну роботу 1/7 учнів отримала п'ятірки, 1/3 - четвірки, 1/2 - трійки. Решта робіт виявилися незадовільними. Скільки було таких робіт?
2. Є тіло маси m і кілька гир однакових мас m. зроблених з різних матеріалів. Який гирею треба врівноважити тіло на вагах в вакуумі, щоб рівновага не порушилося в повітрі?
3. Певний число звели в третю ступінь. Цифри отриманого тризначного числа записали в зворотному порядку; вийшло просте число. Знайдіть вихідне число.
4. Світло проходить відстань від Сонця до Землі приблизно за 8 хвилин. Якби світло поширювалося миттєво, побачили б ми на Землі схід Сонця на 8 хвилин раніше?
5. Директор заводу щодня приїжджає на станцію до 8 години ранку. До цього ж часу на станцію приїжджає машина і відвозить директора на завод, розташований в селищі за кілька кілометрів від станції. Одного разу директор приїхав на станцію в 7 ранку і пішов по шосе у напрямку до заводу. Незабаром він зустрів свою машину, сів у неї і приїхав на завод на 12 хвилин раніше, ніж зазвичай. Коли директор зустрів машину?
Завдання десятого номера 1974 року
1. У школяра була деяка сума грошей монетами номіналом в 15 коп. і 20 коп. причому двадцятикопійчану монет було більше, ніж вартістю п'ятнадцять. П'яту частину всіх грошей школяр витратив, віддавши дві монети за квиток в кіно. Половину грошей, що залишилися він віддав за обід, сплативши його трьома монетами. Скільки монет кожного номіналу було у школяра спочатку?
2. Відстань від Землі до Сонця приблизно в 387 разів більше відстані від Землі до Місяця. Оцініть, користуючись цими даними, у скільки разів обсяг Сонця більше обсягу Місяця.
3. У вітряний день нам стає тепліше, якщо ми «сховаємося» від вітру. Чи однакові показання термометра на вітрі і «за рогом»?
4. «Московський час - 19 годин», - почули ми, сидячи за вечерею в один з останніх днів перебування в будинку відпочинку. А на моєму годиннику було без п'яти сім. Але годинник біжать вперед, і я розрахував, що до моменту мого від'їзду покажуть точний час відходу поїзда. Годинники моєї сусідки Тамари показували без чотирьох хвилин сім. Її годинник тікали вперед на 3 хвилини на добу більше, ніж мої. Тамара повинна була виїхати тим же поїздом, але рівно на добу раніше мене. Її годинник до моменту від'їзду теж показали точний час. На скільки хвилин на добу поспішають мій годинник?
Завдання одинадцятого номера 1974 року
1. Володя написав на дошці:
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 21,
причому замість кожної з зірочок він поставив плюс або мінус. Саша переправив кілька знаків на протилежні, і в результаті замість числа 21 отримали 20. Чи можна стверджувати, що принаймні один з хлопчиків припустився помилки при підрахунку результату?
2. Температура полум'я свічки не менше 1600 градусів Цельсія. Температура плавлення заліза - 1400 градусів Цельсія. Чому цвяхи не плавиться на свічці, а якщо внести в полум'я на жаростійкої ручці залізну кнопку, то вона розплавиться?
3. Відновіть запис множення.
4. Чи буде обертатися в порожнечі сегнерова колесо? (Схожа на павука вертушка, яку ви бачите тут на картинці, і є сегнерова колесо.)
5. Знайдіть п'ять чисел, знаючи, що їх суми по три відповідно рівні 3, 5, 6, 9, 10, 10, 12, 14, 16 і 17.
6. Перед вами зображення куба на площині. Проведіть, не відриваючи олівець від паперу, одну безперервну лінію, яка перетнула б по одному разу всі 16 відрізків, з яких складена фігура. Де повинна починатися ця лінія і де кінчатися?
Завдання дванадцятого номера 1974 року
1. У прикладі КІС + КСИ = ІБК кожній букві відповідає своя цифра. Визначте, чому дорівнює «позов».
2. Якщо уважно стежити за рівнем рідини в банку з консервованими томатами, то можна помітити, що при відкриванні банки рівень рідини знижується. Як це пояснити?
3. З 36 сірників побудували трикутники, квадрати і будиночки (як на малюнку) - всього 10 фігур. Знайдіть кількості фігур кожного виду.
4. У посудину налито дві рідини - вода і машинне масло. У нижню рідина за допомогою мотузки занурюють кубик. Як визначити величину сили, що виштовхує, що діє на кубик?
5. В одному з оповідань Джека Лондона є такі рядки: «Чесне слово, в такий холод не можна роз'їжджати, - сказав Джон Месснер.- Якщо зараз не все 80 нижче нуля, то вже 79 вірних». (Температура вказана за Фаренгейтом.)
Відомий полярний мандрівник В. Стефанссон в книзі «Гостинна Арктика» пише: «Якщо при 45 градусах нижче нуля зняти рукавичку і тримати руку перед очима, то можна бачити, що з кожного пальця піднімається струмінь пари. »(Тут температура вказана за Цельсієм).
Яка зі згаданих температур дійсно нижче, якщо відомо, що в термометрі Фаренгейта за 0 ° прийнята температура суміші снігу і нашатирю, рівна приблизно -18 ° Цельсія, а температура кипіння води дорівнює 212 ° за Фаренгейтом?