2 Лема Морса
Тепер ми покажемо, що поблизу невироджених критичної точки функцію можна заміною змінних привести до деякої простої стандартній формі. Так як цей матеріал не можна вважати частиною стандартного математичного багажу вчених, ми наводимо докладний доказ.
ЛЕММА 4.1. Нехай - гладка в будь-якої околиці початку функція і Тоді в деякій (можливо, меншою) околиці початку знайдуться функції такі що
причому всі гладкі і
Отже, можна взяти
Приватне диференціювання по показує, що
Тепер ми можемо довести лему Морса (для нас це теорема!). (Лема Морса). Нехай і - невироджена критична точка гладкої функції В деякій околиці точки і можна вказати таку локальну систему координат задовольняє умові для всіх що
Доведення. Ми можемо перенестіначало значить, можемо вважати, що Припустимо також, Тоді по лемі 4.1
в деякому околі нуля. Так як нуль - критична точка, ми маємо
Отже, знову по лемі 4.1, існують гладкі функції такі що
і можна написати
Якщо замінити на
то рівняння (4.1) залишиться вірним і в той же час буде виконана умова
Дворазове приватне диференціювання співвідношення
- неособо, оскільки 0 - невироджена критична точка.
Міркуючи по індукції, припустимо, що в деякій околиці початку існують локальні координати такі що
де Провівши, якщо треба, лінійну заміну останніх координат (як при приведенні квадратної форми до діагонального вигляду в § 5 гл. 2), ми можемо вважати, що Покладемо
По теоремі про обернену функцію гладка функція в деякій околиці початку міститься в (Саме тут лежить основна причина того, що лема Морса справедлива, взагалі кажучи, лише локально.) Перейдемо до координат за допомогою заміни
яка (знову по теоремі про обернену функцію) є локальним дифеоморфізмів. тепер
ця формула в точності подібна формулі з тільки замість варто Тим самим, по індукції, теорема доведена.
Це доказ слід порівняти з процедурою приведення квадратичної форми до діагонального вигляду. Назвемо функцію виду
скільки їх. У додатках набагато частіше цікавляться мінімумами і -седламі при малих ніж максимумами (n-сідлами).
Оскільки морсовской сідло, звичайно, є ізольованою критичною точкою, а гладкі заміни зберігають властивість критичної точки бути ізольованою, все невироджені критичні точки - ізольовані.
Число I являє собою інваріант топологічного типу критичної точки в наступному сенсі: гладкі оборотні заміни координат не змінюють
У неморсовской критичної точки матриця Гессе вироджується. Ми можемо виміряти, наскільки вона вироджується, підрахувавши її коранг (§ 5, гл. 2), так би мовити, число незалежних напрямків, за якими вона вироджується. Це число не змінюється при гладких оборотних замінах координат, і воно вийде на перший план в гл. 7 і 8.