Поширення хвиль в пружному середовищі. Рівняння плоскої і сферичної хвиль. Рівняння плоскої хвилі, поширення в довільному напрямку.
Хвилі -розподіл коливань в середовищі, причому, хто вагається частинок не переносяться хвилею, вони лише здійснюють коливання око свого положення рівноваги.
Рівнянням хвилі називається вираз, який дає смещеніеколеблющейся точки як функцію її координат (x, y, z) і часу t.
Ця функція повинна бути періодичною як щодо часу, так і координат (хвиля - це розповсюджується коливання, отже періодично повторюється рух). Крім того, точки, віддалені один від одного на відстані l, коливаються однаковим чином.
Рівняння плоскої хвилі
Знайдемо вид функції x у випадку плоскої хвилі, припускаючи, що коливання носять гармонійний характер.
Направимо осі координат так, щоб вісь x збігалася з напрямком поширення хвилі. Тоді хвильова поверхня буде перпендикулярна осі x. Так як всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, зміщення x буде залежати тільки від х і t. . Нехай коливання точок, що лежать в площині, має вигляд (при початковій фазі)
Знайдемо вид коливання частинок в площині, відповідної безпідставного значенням x. Щоб пройти шлях x. необхідний час.
Отже, коливання частинок в площині x будуть відставати за часом на t від коливань частинок у площині. тобто
(1) - це рівняння плоскої хвилі.
Таким чином, x естьсмещеніелюбой з точок з координатою x в момент часу t. При виведенні ми припускали, що амплітуда коливання. Це буде, якщо енергія хвилі не поглинається середовищем.
Рівняння (1) може прийняти семерична вид щодо часу t і зміщення x.
Для цього вводиться поняття, модуль хвильового вектора показує, скільки λ хвиль вкладається в довжину 2, сам вектор направлений нормально до хвильової поверхні, тоді:
Якщо хвиля поширюється довільно, її напрямок фіксується кутами, по відношенню кOxyz, то рівняння хвилі можна записати так:
Рівняння сферичної хвилі
У разі, коли швидкість хвилі υ у всіх напрямках постійна, а джерело точковий, хвиля будетсферіческой.
Припустимо, що фаза коливань джерела дорівнює wt. Тоді точки, що лежать на хвильової поверхні радіуса r. матимуть фазу. Амплітуда коливань тут, навіть якщо хвиля не поглинається середовищем, що не буде постійною, вона убуває за законом. Отже, рівняння сферичної хвилі:
Де А дорівнює амплітуді на відстані від джерела дорівнює одиниці.
Рівняння не застосовується для малих r. тому при, амплітуда прагне до нескінченності. Те, що амплітуда коливань, випливає з розгляду енергії, яку переносять хвилею.