Під знаком «Золотого Перетини»:
Исповедь сина студбатівцям.
Глава 3. Що таке «золотий перетин»?
3.4. Завдання про розмноження кроликів
Істота своєї «завдання про розмноження кроликів» Фібоначчі сформулював гранично просто:
Для вирішення цього завдання, яка наочно демонструється за допомогою малюнка, позначимо через A пару зрілих кроликів, а через B - пару новонароджених кроликів. Тоді процес «розмноження» може бути описаний за допомогою двох «переходів», які описують щомісячні перетворення кроликів в процесі розмноження:
Зауважимо, що в стовпцях А верб таблиці 1 вказані кількості зрілих і новонароджених пар кроликів в кожному місяці року, а в таблиці А + В - сумарна кількість кроликів.
Вивчаючи послідовності А-, В- і (А + В) -чісел, можна встановити таку закономірність в цих числових послідовностях: кожен член послідовності дорівнює сумі двох попередніх. Якщо тепер позначити n- й член послідовності, що задовольняє цьому правилу через Fn. тоді вказане вище загальне правило може бути записано у вигляді такої математичної формули:
Така формула називається рекуррентной формулою.
Зауважимо, що конкретні значення числової послідовності, яку породжує рекуррентной формулою (3), залежать від початкових значень послідовності F1 і F2. Наприклад, ми маємо F1 = F2 = 1 для A -чісел і для цього випадку рекуррентная формула (3) «генерує» наступну числову послідовність:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.
Для В- чисел ми маємо: F1 = 0 і F2 = 1; тоді відповідна числова послідовність для цього випадку буде мати вигляд:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.
Нарешті, для (А + В) послідовний ми маємо: F1 = 1 і F2 = 2; тоді відповідна числова послідовність для цього випадку буде мати вигляд:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.
У математиці під числами Фібоначчі, як правило, розуміється числова послідовність (4). Числа Фібоначчі мають дивні математичними властивостями і про це я розповім нижче.
Про кроликах
Здається, що саме час поговорити про кроликів. Чому саме ця тварина увійшло в історію математики? Як відомо, кролик - це ссавець ряду гризунів сімейства зайців. Первісною батьківщиною дикого кролика в основному вважалися країни південної частини Західної Європи (Іспанія, Франція, Італія), звідки кролик був привезений людиною в усі країни на північ від Альпійських гір. Сучасна сфера поширення дикого кролика - вся південна і середня частини Західної Європи, але особливо численний він в країнах, прилеглих до Середземного моря, а також в Африці, Азії, Австралії, Нової Зеландії, Америці.
Особливістю кроликів є їх дивовижна плодючість. Кролиця в 3-4 місяці від народження досягає статевої зрілості, причому вона здатна розмножуватися цілий рік. Вагітність запліднених кролиць триває від 28 до 32 діб (тобто в середньому 30 діб); це означає, що, розглядаючи процес розмноження кроликів, Фібоначчі виходив з реальних фактів (вагітність кролиці в середньому триває 1 місяць). Але число кроленят, які можуть бути отримані від однієї кролиці в результаті одного окролу, становить 8-10 (а іноді і більше), то є насправді кролики розмножуються ще більш інтенсивно, ніж припустив Фібоначчі в своєму завданню.
Саме цій винятковій плодючістю кроликів пояснюється той факт, що в багатьох країнах «нашестя кроликів» розглядаються як національна трагедія. Прикладом є Австралія. Почалося все з того, що в 1837 р один австралійський фермер створив кролеферму з 24 кроликів, які, розплодившись і вирвавшись на свободу, знищили мало не всю зелень континенту. І тільки завдяки рішучим заходам австралійського уряду в боротьбі з «довговухої сараною» вдалося скоротити чисельність ненажерливої тварі. В Австралії кроликам оголошена справжня війна, яка вже триває понад 150 років. Через весь материк на багато сотень кілометрів австралійці побудували «велику китайську стіну» # 151; бар'єр, нездоланний для кроликів; за кожного вбитого кролика виплачується винагорода, проти кроликів застосовуються хімічні і біологічні засоби. Війна триває з перемінним успіхом. Австралійські дикі кролики навчилися лазити по деревах, стали жахливо агресивними, влаштовують знищують набіги на поля і городи селян.
Крім того, плідне кроляче плем'я, колись своєрідно вплинула на видатного математика Італії, в даний час взяло в облогу італійський острів Устіка (на північ від Сицилії). На 1000 жителів цього крихітного острівця доводиться 100 000 кроликів. На відміну від жителів Австралії корінне населення Устіка здається без бою: вже п'ята частина жителів емігрувала з острова.
Але не слід забувати і про інший бік «кролячої проблеми: кроляче м'ясо вважається одним з найбільш смачних і корисних. І одним з найбільших виробників кролячого м'яса є Італія, батьківщина Фібоначчі. У зв'язку з цим італійським (та й не тільки італійським) історикам математики необхідно багато попрацювати, щоб встановити, що ж послужило Фібоначчі першопричиною формулювання «завдання про розмноження кроликів»: упередженість до кролятині або любов до вищої математики.
[Обговорення на форумі «Публіцистика»]