аксіоми статики

Система аксіом статики, про яку ми вже згадували, була сформульована И.Ньютоном в 1687 р в його роботі «Математичні основи натуральної філософії». Частина цих аксіом відома з шкільного курсу фізики як закони Ньютона, хоча перший з них - закон інерції був сформульований ще Г. Галілеєм.

1. Аксіома інерції. Під дією врівноваженою системи сил тіло рухається прямолінійно і рівномірно або перебуває в стані спокою.

2. Аксіома рівноваги системи двох сил. Система двох сил врівноважена в тому і тільки в тому випадку, якщо ці сили:

діють по одній прямій, що з'єднує точки їх застосування;

спрямовані в протилежні сторони (Рис.1).

Відзначимо, зокрема, що з умови: $ (\ vec. \ Vec) \ sim 0 $ випливає, що $ \ vec = - \ vec $.

3. Аксіома приєднання або виключення врівноваженою системи сил. Дія системи сил на тіло не зміниться, якщо до неї приєднати (виключити з неї) врівноважену систему сил.

Наслідком цієї аксіоми є наступна

Теорема 1. Дія сили на ТТ не зміниться, якщо цю силу перенести вздовж лінії дії в будь-яку точку цього тіла.

Формулювання теореми означає, що сила $ \ vec $, прикладена в точці А твердого тіла, еквівалентна силі $ \ vec # '> $. прикладеної в точці В того ж тіла і лежить на лінії дії сили $ \ vec $. При цьому вектор $ \ vec $ дорівнює вектору $ \ vec $. $ \ Vec = \ vec $ (Рис.2 а, в).

Для доказу приєднаємо до системи, що складається з єдиної сили $ \ vec $. врівноважену систему сил, прикладених в точці В. $ \ vec, \ vec \ sim 0 $, вибравши $ \ vec = \ vec = - \ vec $ (Ріс.1.3б).

Тоді в силу аксіом 2 і 3.

оскільки сили $ (\ vec, \ vec) $ також утворюють врівноважену систему. Теорема доведена.

4. Аксіома паралелограма. Рівнодіюча двох пересічних сил прикладена в точці перетину їх ліній дії і зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах як на сторонах.

Відзначимо, що математично розглянута процедура визначення рівнодіючої відповідає знаходженню суми векторів (Рис.3):

Для визначення модуля рівнодіюча зведемо останній вираз в квадрат:

звідки отримаємо шукане вираз:

$$ R = \ sqrt ^ 2 + ^ 2 + 2 P_1 P_2 \ cos (\ alpha)> $$

де $ \ alpha $ кут між векторами $ \ vec $ і $ \ vec $.

Побудова паралелограма можна, очевидно, замінити побудовою силового трикутника Oab.

5. Аксіома дії і протидії. Два тіла взаємодіють з силами $ \ vec $ і $ \ vec $, рівними за величиною і протилежними за напрямком:

Відзначимо, що ці сили на відміну від сил, про які йде мова в аксіомі 2. системи не утворюють, оскільки прикладені до різних тіл.

6. Аксіома затвердіння. Рівновага деформованого тіла не порушиться, якщо його вважати абсолютно твердим.

Ця аксіома дозволяє розглядати рівновагу не тільки абсолютно твердих, але також тіл, що деформуються і навіть рідини. Наприклад - в гідростатиці.

7. Аксіома освобождаемості від зв'язків. Невільний тіло можна вважати вільним, якщо разом з активними силами прикласти до нього реакції відкинутих зв'язків.

Відзначимо, що у всіх попередніх аксіомах розглядалися вільнітіла. Відповідно для вільних тел згодом будуть отримані умови рівноваги і теореми статики. У той же час всі навколишні нас будівельні конструкції і споруди є приклади тел невільних. Звідси зрозуміла важливість останньої аксіоми, яка дозволяє від невільних тел переходити до вільних, а також необхідність вміння визначати реакції цих зв'язків.

Примітки:

Аксіома 1 справедлива тільки для окремого випадку ТТ - матеріальної точки.

На підставі слідства з аксіоми 3 сила в ТМ є не точковим, а ковзаючим вектором, тому на практиці точка ТТ, до якої прикладена сила, може збігатися як з початком, так і з кінцем цього вектора.

За допомогою аксіоми 4 можна виконати і зворотну операцію: розкласти силу на дві складові по двом заздалегідь обраними напрямками.

Тут і далі, якщо це не викликає непорозуміння, ми застосовуємо звичайне накреслення шрифту для позначення як модуля вектора сили, так і його величини: $ \ vec = \ pm | \ vec | $.