Нехай потрібно обчислити визначник матриці порядку. Якщо. то поміняємо місцями перший рядок і будь-яку іншу, в якій перший елемент не нуль. В результаті визначник. буде дорівнює визначнику нової матриці з протилежним знаком. Якщо ж перший елемент кожного рядка дорівнює нулю, то матриця має нульовий стовпець і за пропозиціями 6 і 12 її визначник дорівнює нулю.
Отже, вважаємо, що вже у вихідній матриці. Перший рядок залишаємо без змін. Додамо до другої рядку перший рядок, помножену на число. Тоді перший елемент другого рядка дорівнюватиме
Інші елементи нової другого рядка позначимо. . Визначник нової матриці за пропозицією 9 дорівнює.
Перший рядок помножимо на число і додамо до третьої. Перший елемент нової третього рядка дорівнюватиме
Інші елементи нової третього рядка позначимо. . Визначник нової матриці за пропозицією 9 дорівнює.
Процес отримання нулів замість перших елементів рядків продовжимо далі. Нарешті, перший рядок помножимо на число і додамо до останнього рядка. В результаті виходить матриця, позначимо її. яка має вигляд
причому. Для обчислення визначника матриці використовуємо розкладання по на одну колонку
У правій частині стоїть визначник матриці порядку. До нього можна застосувати той же алгоритм, і обчислення визначника матриці зведеться до обчислення визначника матриці порядку. Процес повторюємо до тих пір, поки не дійдемо до визначника другого порядку, який обчислюється за визначенням.
Якщо матриця не володіє якимись специфічними властивостями, то помітно зменшити обсяг обчислень в порівнянні з запропонованим алгоритмом не вдається. Ще одна хороша сторона цього алгоритму - по ньому легко скласти програму для комп'ютера для обчислення визначників матриць вищих порядків. У стандартних програмах обчислення визначників використовується цей алгоритм з не принциповими змінами, пов'язаними з мінімізацією впливу помилок округлення і похибок вхідних даних при обчисленнях комп'ютера.
Приклад Розрахуйте визначник матриці
Рішення. Перший рядок залишаємо без зміни. До другої рядку додаємо першу, помножену на число:
Визначник не змінюється. До третьому рядку додаємо першу, помножену на число:
Визначник не змінюється. До четвертої рядку додаємо першу, помножену на число:
Визначник не змінюється. В результаті отримуємо
За тим же алгоритмом вважаємо визначник матриці порядку 3, що стоїть праворуч. Перший рядок залишаємо без змін, до другої рядку додаємо першу, помножену на число:
До третьому рядку додаємо першу, помножену на число:
В результаті отримуємо