До складу ЄДІ з математики входять завдання пов'язані з прогресією. Це текстові задачі. Ті завдання, які будуть на іспиті гранично прості. Необхідно розуміти саму суть - що собою являє арифметична і геометрична прогресія, а також знати формули (їх необхідно вивчити). У шкільному курсі математики розглядаються завдання на порядок складніше. Отже:
Арифметична прогресія - числова послідовність a n визначається умовами:
(D - це різниця арифметичної прогресії)
Кожен наступний член арифметичної прогресії дорівнює сумі попереднього і числа d.
Приклад арифметичної прогресії:
Формула n-го члена:
Формула суми n перших членів:
Підставами в неї an = a1 + d (n - 1), отримаємо ще одну:
Геометрична прогресія - числова послідовність bn визначається умовами:
2) b n + 1 = b n q n = 1, 2, 3. (q - знаменник геометричній прогресії).
Кожен наступний член геометричної прогресії дорівнює добутку попереднього і числа q.
Приклади геометричній прогресії:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ... b1 = 2 b2 = 5 q = 2
Формула n-го члена:
Формула суми n перших членів q ≠ 1:
Підставами в неї bn = b1 q n -1. отримаємо ще одну:
Ось ці формули і необхідно знати (дуже добре). Ви переконаєтеся, що самі завдання прості. Необхідно відразу позначити вихідні дані: де сума, де перший член, де число перших членів.
Турист йде з одного міста в інший, кожен день проходячи більше, ніж в попередній день, на одне і те ж відстань. Відомо, що за перший день турист пройшов 10 кілометрів. Визначте, скільки кілометрів пройшов турист за третій день, якщо весь шлях він пройшов за 6 днів, а відстань між містами становить 120 кілометрів.
Турист проходить кожен день більше, ніж в попередній на однакову кількість кілометрів. Це завдання на арифметичну прогресію. Кількість днів ця кількість членів прогресії n = 6, 120 кілометрів це сума відстаней пройдених кожен день (сума всіх членів прогресії S), 10 кілометрів це перший член прогресії, тобто а1 = 10.
Формула суми членів арифметичної прогресії:
Значить, ми можемо знайти d - різниця арифметичної прогресії. Це число кілометрів, на яке збільшується шлях в кожний наступний день:
Тобто, кожен день турист проходить на 4 кілометри більше, ніж в попередній. Значить, за другий день турист пройде 10 + 4 = 14 кілометрів, за третій 14 + 4 = 18 кілометрів. Або можна порахувати за формулою n-го члена прогресії:
Вантажівка перевозить партію щебеню масою 210 тонн, щодня збільшуючи норму перевезення на одне і те ж число тонн. Відомо, що за перший день було перевезено 2 тонни щебеню. Визначте, скільки тонн щебеню було перевезено на дев'ятий день, якщо вся робота була виконана за 14 днів.
Вантажівка збільшує норму перевезення кожен день на одне і те ж число. Це арифметична прогресія. Перший член прогресії дорівнює 2 (кількість тонн, перевезений в перший день). Сума прогресії дорівнює 210 (загальна кількість перевезеного щебеню). Число членів прогресії 14 (число днів, за які був перевезений вантаж). Використовуємо формулу суми арифметичної прогресії і знайдемо з неї d - кількість тонн, на яке збільшувалася норма перевезення кожен день:
Формула n-го члена арифметичної прогресії:
Таким чином, на дев'ятий день вантажівка перевіз:
Равлик повзе від одного дерева до іншого. Кожен день вона проповзає на одне і те ж відстань більше, ніж в попередній день. Відомо, що за перший і останній дні равлик проповзла в цілому 10 метрів. Визначте, скільки днів равлик витратила на весь шлях, якщо відстань між деревами дорівнює 150 метрам.
Кожен день равлик проповзає на одне і те ж відстань більше, ніж в попередній день. Це завдання на арифметичну прогресію. Кількість днів - це кількість членів прогресії, 150 метрів це сума всіх членів прогресії), 10 метрів - сума відстаней в перший і останній день (сума першого і останнього члена прогресії). Тобто,
Використовуємо формулу суми членів арифметичної прогресії:
Улітку витратила на весь шлях 30 днів.
Вірі треба підписати 640 листівок. Щодня вона підписує на одне і те ж кількість листівок більше в порівнянні з попереднім днем. Відомо, що за перший день Віра підписала 10 листівок. Визначте, скільки листівок було підписано за четвертий день, якщо вся робота була виконана за 16 днів.
Вірі підписує на одне і те ж кількість листівок більше в порівнянні з попереднім днем. Це завдання на арифметичну прогресію. Кількість днів, за коториё виконана робота - це кількість членів прогресії (n = 6), 640 листівок - це сума всіх членів прогресії (S = 640), 10 листівок - це перший член прогресії, тобто а1 = 10.
Формула суми членів арифметичної прогресії:
Значить, ми можемо знайти d - різниця арифметичної прогресії. Це число листівок, на яке Віра збільшує свою норму в кожний наступний день:
Тобто, кожен день Віра підписує на 4 листівки більше, ніж в попередній. Значить, за другий день 10 + 4 = 14 штук, за третій 14 + 4 = 18 штук, за четвертий 18 + 4 = 22. Або можна порахувати за формулою n-го члена прогресії:
Дане завдання на геометричну прогресію, але незважаючи на свою простоту вимагає великої уважності при вирішенні (на сайті представлено два способи вирішення):
У даній рубриці продовжимо розглядати завдання (тобто завдання на відсотки, на суміші та сплави, на рух по колу), не пропустіть!
Всього найкращого! Успіхів вам!
З повагою, Олександр Крутицький.