1 / r ^ 2. Однак ще І. Кант зрозумів, що закон зворотних квадратів є наслідок тривимірності нашого простору. Справді, чому сила, наприклад, електростатичного взаємодії слабшає з відстанню? Найбільш наочний відповідь полягає в тому, що з ростом r силові лінії поля розподіляються по всі біль-ший поверхні сфери, що охоплює заряд і має радіус r. Площа сфери зростає як r в квадраті, значить, щільність силових ліній, які пронизують цю сферу, зменшується
1 / r ^ 2, що і визначає закон зміни сили. Але сказане справедливо тільки в тривимірному просторі. Якщо простір чотиривимірному, то площа «сфери» (геометричного місця точок рівновіддалених від центру) пропорційна r ^ 3, а для простору N вимірювань ця. площа пропорційна r ^ N-1. Звідси і закон зміни електростатичного і гравітаційної сили в N-вимірному просторі:
F
1 / N ^ r-1
Чому так важливо зміна закону падіння сили в просторі розмірності N? Справа полягає в слідую-щем. Розглянемо рух пробного заряду по круговій орбіті навколо центрального зарядженого тіла (з зарядом протилежного знаку, щоб було тяжіння) в просторі будь-якої розмірності N. Нехай задано момент кількості руху заряду (він не може змінюватися при русі). Тоді відцентрові сили будуть пропорційні
1 / r3, і не залежать від N. З механіки відомо, що для існування стійких кругових орбіт необ-ходимо, щоб відцентрові сили зменшувалися з рас-стоянням швидше, ніж F. Інакше рух по колу буде нестійким і найменше обурення призведе або до падіння заряду до центру, або до того, що заряд полетить в нескінченність. А відсутність стійких кругових орбіт означає відсутність взагалі «пов'язаних», як кажуть, станів, коли заряд рухається в обмеженій області простору навколо центрального тіла. Звідси випливає, що для існування пов'язаних станів необхідно
N; 3.
Ось такий цікавий висновок. На перший погляд здається, що збільшення розмірності простору відкриває нові можливості для ускладнення руху в ньому тіл, а значить, і для існування більш складних утворень. На ділі ж виявляється, що в таких просторах немає пов'язаних стійких систем тіл, взаємодіючих електричними і гравітаційними силами, т. Е. В них не може бути ні атомів, ні планетних систем, ні галактик!
З іншого боку, якщо N = 2 або 1, то в таких просторах взаємодіючі заряди протилежних знаків ніколи не могли б полетіти на скільки завгодно великі відстані. Тут сили падають з відстанню занадто повільно, і, яку б початкову швидкість ні дати заряду, центральне тіло своєї силою тяжіння зупинить летить заряд і змусить його рухатися до себе. У таких просторах не існувало б вільного руху тяжіють тел.
І тільки в тривимірному просторі можливі і пов'язані, і вільні стану ».
Таким чином, тривимірність простору (або, відповідно, чотиривимірному просторі часу) обумовлює дію в нашому Всесвіті двох фізичних законів. в попередній книзі). Чотиривимірному просторі-часі є наслідком якогось загального закону: ця розмірність повинна бути саме такою, і ніякої більше. Коротше кажучи, (3 + 1) -мерность не вимагає доказів, бо це не теорема, а аксіома. І будь-які спроби відступитися від даної розмірності приречені на невдачу.
Наведемо характерний приклад.
У 20-ті роки німецький фізик Т. Калуца і шведський фізик О. Клейн спробували об'єднати гравітацію Ейнштейна і електромагнетизм Максвелла також на геометричній основі. Вони припустили, що простір-час аж ніяк не чотиривимірному (три просторові координати плюс час), а пятімерном, і ввели ще одну просторову координату. Ці фізики написали рівняння для викривленості пятимерного світу, подібні до рівнянь гравітації Ейнштейна для чотиривимірного світу. Виявилося, що додаткові рівняння, які при цьому виникають через наявність ще одного виміру, є рівняннями електродинаміки Максвелла. Таким чином, виявилося, що електромагнетизму можна також надати геометричний сенс, правда, вельми незвичайний - пов'язаний з наявністю п'ятого виміру.
Спробу об'єднання Калуци і Клейна також не можна було визнати остаточно успішною. Крім багатьох труднощів, про які ми тут говорити не будемо, в їх теорії існує цілком очевидна проблема: по¬чему додаткове просторовий вимір ніяк реально не проявляється в нашому світі? Чому ми з плином часу можемо переміщатися в просторі тільки в трьох напрямках (довжина, ширина, висота), але не можемо рухатися в цьому, ще одному додатковому вимірі? Для усунення цієї проблеми Калуцей і Клейну доводилося робити додаткові, вельми штучні припущення, що забороняють, по суті, рухатися в новому вимірі.
Загальний висновок, який можна зробити за підставі вищевикладеного, такий: (3 + 1) -размерность нашого простору-часу є єдино можливою.
1 / r ^ 2. Однак ще І. Кант зрозумів, що закон зворотних квадратів є наслідок тривимірності нашого простору. Справді, чому сила, наприклад, електростатичного взаємодії слабшає з відстанню? Найбільш наочний відповідь полягає в тому, що з ростом r силові лінії поля розподіляються по всі біль-ший поверхні сфери, що охоплює заряд і має радіус r. Площа сфери зростає як r в квадраті, значить, щільність силових ліній, які пронизують цю сферу, зменшується
1 / r ^ 2, що і визначає закон зміни сили. Але сказане справедливо тільки в тривимірному просторі. Якщо простір чотиривимірному, то площа «сфери» (геометричного місця точок рівновіддалених від центру) пропорційна r ^ 3, а для простору N вимірювань ця. площа пропорційна r ^ N-1. Звідси і закон зміни електростатичного і гравітаційної сили в N-вимірному просторі:
F
1 / N ^ r-1
Чому так важливо зміна закону падіння сили в просторі розмірності N? Справа полягає в слідую-щем. Розглянемо рух пробного заряду по круговій орбіті навколо центрального зарядженого тіла (з зарядом протилежного знаку, щоб було тяжіння) в просторі будь-якої розмірності N. Нехай задано момент кількості руху заряду (він не може змінюватися при русі). Тоді відцентрові сили будуть пропорційні
1 / r3, і не залежать від N. З механіки відомо, що для існування стійких кругових орбіт необ-ходимо, щоб відцентрові сили зменшувалися з рас-стоянням швидше, ніж F. Інакше рух по колу буде нестійким і найменше обурення призведе або до падіння заряду до центру, або до того, що заряд полетить в нескінченність. А відсутність стійких кругових орбіт означає відсутність взагалі «пов'язаних», як кажуть, станів, коли заряд рухається в обмеженій області простору навколо центрального тіла. Звідси випливає, що для існування пов'язаних станів необхідно
N; 3.
Ось такий цікавий висновок. На перший погляд здається, що збільшення розмірності простору відкриває нові можливості для ускладнення руху в ньому тіл, а значить, і для існування більш складних утворень. На ділі ж виявляється, що в таких просторах немає пов'язаних стійких систем тіл, взаємодіючих електричними і гравітаційними силами, т. Е. В них не може бути ні атомів, ні планетних систем, ні галактик!
З іншого боку, якщо N = 2 або 1, то в таких просторах взаємодіючі заряди протилежних знаків ніколи не могли б полетіти на скільки завгодно великі відстані. Тут сили падають з відстанню занадто повільно, і, яку б початкову швидкість ні дати заряду, центральне тіло своєї силою тяжіння зупинить летить заряд і змусить його рухатися до себе. У таких просторах не існувало б вільного руху тяжіють тел.
І тільки в тривимірному просторі можливі і пов'язані, і вільні стану ».
Таким чином, тривимірність простору (або, відповідно, чотиривимірному просторі часу) обумовлює дію в нашому Всесвіті двох фізичних законів. в попередній книзі). Чотиривимірному просторі-часі є наслідком якогось загального закону: ця розмірність повинна бути саме такою, і ніякої більше. Коротше кажучи, (3 + 1) -мерность не вимагає доказів, бо це не теорема, а аксіома. І будь-які спроби відступитися від даної розмірності приречені на невдачу.
Наведемо характерний приклад.
У 20-ті роки німецький фізик Т. Калуца і шведський фізик О. Клейн спробували об'єднати гравітацію Ейнштейна і електромагнетизм Максвелла також на геометричній основі. Вони припустили, що простір-час аж ніяк не чотиривимірному (три просторові координати плюс час), а пятімерном, і ввели ще одну просторову координату. Ці фізики написали рівняння для викривленості пятимерного світу, подібні до рівнянь гравітації Ейнштейна для чотиривимірного світу. Виявилося, що додаткові рівняння, які при цьому виникають через наявність ще одного виміру, є рівняннями електродинаміки Максвелла. Таким чином, виявилося, що електромагнетизму можна також надати геометричний сенс, правда, вельми незвичайний - пов'язаний з наявністю п'ятого виміру.
Спробу об'єднання Калуци і Клейна також не можна було визнати остаточно успішною. Крім багатьох труднощів, про які ми тут говорити не будемо, в їх теорії існує цілком очевидна проблема: по¬чему додаткове просторовий вимір ніяк реально не проявляється в нашому світі? Чому ми з плином часу можемо переміщатися в просторі тільки в трьох напрямках (довжина, ширина, висота), але не можемо рухатися в цьому, ще одному додатковому вимірі? Для усунення цієї проблеми Калуцей і Клейну доводилося робити додаткові, вельми штучні припущення, що забороняють, по суті, рухатися в новому вимірі.
Загальний висновок, який можна зробити за підставі вищевикладеного, такий: (3 + 1) -размерность нашого простору-часу є єдино можливою.