Рейтинг: 5/5
Література: Збірник завдань з математики. Частина 1. Під ред А. В. Єфімова, Б. П. Демидовича.
Квадратна матриця $ A $ називається симетричною, якщо $ A ^ T = A. $ квадратна матриця $ B $ називається кососімметрічной, якщо $ B ^ T = -B. $
Квадратна матриця $ A $ називається вироджених (особливою). якщо її визначник дорівнює нулю, і невироджених (неособенной) в іншому випадку. Якщо $ A $ - невироджена матриця, то існує і притому єдина матриця $ A ^ $ така, що $ AA ^ = A ^ A = E, $ де $ E- $ одинична матриця (тобто така, на головній діагоналі якої стоять одиниці , а всі інші елементи дорівнюють нулю). Матриця $ A ^ $ називається оберненою до матриці $ A. $
Основні методи обчислення зворотної матриці:
Метод присоеденения матриці. Присоеденения матриця $ A ^ * $ визначається як транспонована до матриці, складеної з алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці $ A. $ Таким чином,
$ A ^ * A = AA ^ * = \ det A \ cdot E. $
Звідси випливає, що якщо $ A- $ невироджених матриця, то
Методом присоеденения матриці знайти зворотні для наступних матриць:
$ \ Det A = \ begin12 \\ 34 \ end = 1 \ cdot 4-2 \ cdot 3 = 4-6 = -2 \ neq 0. $
Оскільки визначник не дорівнює нулю, то дана матриця невирождени і зворотна матриця існує.
Знайдемо алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці $ A: $
Звідси знаходимо присоеденения матрицю:
$ \ Det A = \ begin257 \\ 634 \\ 5-2-3 \ end = 2 \ cdot 3 \ cdot (-3) +6 \ cdot (-2) \ cdot 7 + 5 \ cdot 4 \ cdot 5 $ $ = 5 \ cdot3 \ cdot7-2 \ cdot (-2) \ cdot4-5 \ cdot 6 \ cdot (-3) = - 18-84 + 100-105 + 16 + 90 = $ $ = - 1 \ neq 0. $
Оскільки визначник не дорівнює нулю, то дана матриця невирождени і зворотна матриця існує.
Знайдемо алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці $ A: $
У номері 3.106 ми знаходили $ \ begin12 \\ 34 \ end ^: $Метод елементарних перетворень. Елементарними перетвореннями матриці називаються такі:
1) перестановка рядків (стовпців);
2) множення рядка (стовпчика) на число, відмінне від нуля;
3) додаток до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.
Для даної матриці $ A $ $ n- $ го порядку побудуємо прямокутну матрицю $ \ Gamma_A = (A | E) $ розміру $ n \ times 2n $, приписуючи до $ A $ справа одиничну матрицю. Далі, використовуючи елементарні перетворення над рядками, наводимо матрицю $ \ Gamma_A $ до виду $ (E | B), $ що завжди можливо, якщо $ A $ невирождени. Тоді $ B = A ^. $
3.115. Методом елементарних перетворень знайти зворотну для наступної матриці:
Утворити матрицю $ \ Gamma_A: $
Позначивши через $ \ gamma_1, \ gamma_2, \ gamma_3 $ рядки матриці $ \ Gamma_A, $ зробимо над ними такі перетворення: $ \ gamma_1 '= \ gamma_1, $ $ \ gamma_2' = \ gamma_2-2 \ gamma_1, $ $ \ gamma_3 '= \ gamma_3-2 \ gamma_1 $
$ \ Gamma_1 '' = \ gamma_1 ', $ $ \ gamma_2' '= \ gamma_2'-2 \ gamma_3', $ $ \ gamma_3 '' = \ gamma_3'-2 \ gamma_2 '$
$ \ Gamma_1 '' '= \ gamma_1' '- \ frac \ gamma_2' '- \ frac \ gamma_3' ', $ $ \ gamma_2' '' = \ frac \ gamma_2 '', $ $ \ gamma_3 '' '= \ frac \ gamma_3 '' $
Отримуємо $ \ left (\ begin 122 \\ 21-2 \\ 2-21 \ end \ left | \ begin100 \\ 010 \\ 001 \ end \ right. \ Right) \ sim $ $ \ left (\ begin 122 \ \ 0-3-6 \\ 0-6-3 \ end \ left | \ begin100 \\ - 210 \\ - 201 \ end \ right. \ right) \ sim $
Отрогональной матрицею називається матриця, для якої $ A ^ = A ^ T. $
3.105. Довести, що будь-яку матрицю $ A $ можна уявити, і при цьому єдиним чином, у вигляді $ A = B + C, $ де $ B- $ симетрична, а $ C- $ кососімметрічная матриці.
Методом присоеденения матриці знайти зворотні для наступних матриць: