ЗАКОН дистрибутивну
від англ. distribution - розподіл, розміщення)
- загальна назва групи логічних законів схожої структури. Ці закони дозволяють розподілити одну логічний зв'язок щодо іншої.
Повний 3. д. Кон'юнкції щодо диз'юнкції з використанням символіки логічної формулюється так (р, q, r - деякі висловлювання; - кон'юнкція, "і"; v - диз'юнкція, "або"; = - еквівалентність, "якщо і тільки якщо"):
перше і (друге або третє), якщо і тільки якщо (перше і друге) або (перше і третє). Напр. "Сьогодні йде дощ і завтра ясно або післязавтра ясно в тому і тільки в тому випадку, коли сьогодні йде дощ і завтра ясно або сьогодні йде дощ і післязавтра ясно".
Повний 3. д. Диз'юнкції відносно кон'юнкції:
перше або (друге і третє), якщо і тільки якщо (перше або друге) і (перше або третя). Напр. "Завтра буде сонячно або післязавтра буде мороз і сніг тоді і тільки тоді, коли завтра буде сонячно або післязавтра буде мороз і завтра буде сонячно або післязавтра буде сніг".
Закон самодістрібутівності імплікації (->, "якщо, то") дає можливість розподіляти імплікації по імплікації:
якщо (якщо перше, то (якщо друге, то третє)), то (якщо (якщо перше, то друге), то (якщо перше, то третє)). Цей закон вірний для імплікації матеріальної, але не має місця для цілого ряду інших імплікацій, що вводяться в сучасній логіці.
↑ Відмінне визначення
Неповне визначення ↓
дистрибутивну ЗАКОН
від лат. distributus - розподілений), р а з п р е д е л і -тельний закон, - закон, що виражає дистрибутивность (розподільчими) однієї даної логічний. або математичного. операції щодо ін. даної операції. Прикладом Д. з. може служити закон звичайної арифметики: а (b + с) = аb + ас, що виражає розподільні множення щодо складання, тобто то, що множення будь-якого числа а на суму будь-яких чисел b і з дає той же результат, к-рий виходить, якщо множення на а "розподілити" між складовими і потім скласти твори аb і ас; але в звичайній арифметиці складання втрачає дистрибутивно щодо множення. На відміну від звичайної арифметики, в логіці висловлювань є пара операцій, з яких брало кожна дистрибутивну щодо іншої, - це кон'юнкція і диз'юнкція. Д. з. для цих операцій виражаються еквівалентності: А (В / С) екв. (А В) / (А С) (дистрибутивность кон'юнкції щодо диз'юнкції; А, В і С - будь-які висловлювання, і / - знаки кон'юнкції і диз'юнкції, а екв. є скорочення для слова "еквівалентно") і A / (B С) екв. (А / В) (А / С) (дистрибутивность диз'юнкції відносно кон'юнкції). У логіці предикатів операція зв'язування змінної квантором спільності дистрибутивну щодо кон'юнкції. х (Ф (х) . (?)) Екв. х Ф (x) . х. (X) (тобто висловлювання "для будь-якого x справедливо властивість. І властивість?" І "для будь-якого x справедливо властивість. І для будь-якого x справедливо властивість?" Еквівалентні), але не дистрибутивну щодо диз'юнкції (т. К. З висловлювання "для будь-якого x справедливо властивість. або властивість?" не слід висловлювання "для будь-якого x справедливо властивість. або для будь-якого x справедливо властивість?", хоча зворотне проходження і має місце). Операція ж зв'язування змінної квантором існування дистрибутивну щодо диз'юнкції: (тобто висловлювання "існує таке x, для к-якого вірно. Або?" І "існує таке x, для к-якого вірно Ф, або існує таке x, для к -рого вірно? "еквівалентні), але не дистрибутивну щодо кон'юнкції (тому що хоча з висловлювання" існує таке x, для к-якого вірно. і? "і слід висловлювання" існує таке x, для к-якого вірно Ф, і існує таке x, для к-якого вірно? ", але зворотне проходження не має місця). Д. з. що дозволяють проводити т.зв. "Винос за дужки" і (при використанні відповідного закону асоціативності, тобто асоціативного закону) "розкриття дужок", грають істот. роль в перетвореннях логічний. і алгебраїч. виразів. З виконанням Д. з. для тих чи інших операцій в логічний. і алгебраїч. системах пов'язані важливі властивості цих систем (див. Структура). В алгебрі логіки згадані Д. з. для кон'юнкції і диз'юнкції зазвичай записують не у вигляді еквівалентностей, а у вигляді рівності, тобто більше схоже з арифметичним Д. з. A (B / C) = AB / AC і A / BC = (A / B) (A / C). Там же використовується і ін. Д. з. напр. А (В + С) = АВ + АС (дистрибутивность кон'юнкції щодо розділової диз'юнкції), AV (BДІСТРІБУТІВНОСТІ зако? НC) = (AVB) дистрибутивних зако? Н (AVC) (дистрибутивность диз'юнкції щодо еквіваленціі), А? (В? С) = (А? В). (А? С) (дистрибутивность імплікації щодо імплікації). Останній закон називають також законом самодістрібутівності імплікації [або, вірніше, лівої самодістрібутівності імплікації, тому що для останньої відповідний п р а в о й Д. з. (А? В)? С = (А? С). (B? C) не вірний і, тим більше, не випливає з вищенаведеного лівої Д. з. через некомутативності імплікації, тобто через відсутність для неї переместітельного закону. "Розкривати дужки" цей закон не дозволяє через неассоціатівное імплікації, тобто через відсутність для неї асоціативного закону]. Законом самодістрібутівності імплікації наз. також формула ((А? (В? С)). ((А? В). (А? С)), яка відіграє важливу роль в обчисленні висловлювань та приймається часто в якості однієї з аксіом останнього, що зручно, напр. для доказу теореми про дедукції; остання при цьому є наслідком вже того, що в обчисленні постульовано закон, який виражається указ. формулою, і більш простий закон, який виражається формулою (а? (в? а), а також звичайне правило modus ponens. Іноді розглядають Д. з. і для таких операцій, к-які не обов'язково двомісні (тобто можуть бути функціями не двох змінних, а, напр. трьох або чотирьох). При єри таких Д. з. А (В дистрибутивну зако? Н (C дистрибутивну зако? Н D)) = A · B дистрибутивну зако? Н (AC дистрибутивну зако? Н AD) (дистрибутивность кон'юнкції щодо тримісній еквіваленціі), (А дистрибутивну зако ? Н (ВДІСТРІБУТІВНОСТІ зако? НС)). D = (A? D) дистрибутивних зако? Н ((B? D) дистрибутивних зако? Н (C? D)), еакон самодістрібутівності медіани і ін. В загальному випадку такого роду Д . з. можна виразити формулою: f (А1. Ai-1, g (B1. Вm). i + 1. An) = g (f (A1. Аi-1, В1, Ai + 1. Аn). F (A1. Ai-1. M. I + 1. An)) [дистрибутивность операції f по i-му аргументу (місцем ) щодо операції g]. Прикладом застосування загального поняття дистрибутивности може служити слід. теорема: для того щоб функція алгебри логіки була ш е ф ф е р о в і й (тобто щоб через неї можна було б уявити будь-яку іншу функцію алгебри логіки), необхідно і достатньо, щоб вони мали місця дистрибутивность заперечення медіани щодо цієї функції. Літ .: Новиков П. С. Елементи математичної логіки, М. 1959; Ван-дер-Варден В. Л. Сучасна алгебра, пер. з нім. ч. 1, М.-Л. 1947; Біркгоф Г. Теорія структур, пров. з англ. М. 1952; Черч А. Введення в математичну логіку, т. 1, пров. з англ. М. 1960. Б. Бірюков. Москва. А. Кузнєцов. Москва.
↑ Відмінне визначення
Неповне визначення ↓