глава 5
Доведення
5.1. Що таке доказ?
Знання про логічних законах і помилки, пов'язаних з їх порушеннями, особливо важливо для правильної побудови доказу, який являє собою сукупність прийомів підтвердження або спростування чого-небудь (тези, твердження, ідеї, думки і т. П.) Називається доказом. Звернемо увагу на те, що і підтвердити, і спростувати - означає довести. У повсякденному житті поняття підтвердження і доказ часто вживаються як рівнозначні, а відповідні терміни сприймаються як синоніми, що не зовсім вірно: підтвердження - це різновид докази, поряд із спростуванням. Підтвердити - це значить довести істинність будь-якого висловлювання, а спростувати - довести хибність якогось судження (положення, твердження, тези).
Всі докази діляться на безпосередні та опосередковані. У безпосередньому доказі якесь висловлювання підтверджується або спростовується шляхом співвіднесення його з дійсністю. Наприклад, для того, щоб встановити істинним або хибним є твердження: Зараз на вулиці йде дощ досить співвіднести його з дійсністю, т. Е. Просто виглянути у вікно. Точно так же для визначення інстіннимі чи хибності судження: Це тіло важче даної рідини треба всього лише занурити тіло в рідину і подивитися, що станеться: потоне воно в ній чи ні. Безпосередні докази також часто називають емпіричними (від грец. Еmреiria - досвід), т. Е. Що базуються на досвіді. В даному випадку термін "досвід" треба розуміти не у вузькому сенсі (наприклад, досліди з фізики, досліди з хімії і т. П.), А в широкому: досвід - це все те, з чим ми стикаємося в житті за допомогою органів почуттів (т. е. бачимо, чуємо, сприймаємо дотиком, і т. д.).
Далеко не всі можна довести емпірично, т. Е. З допомогою посилання на досвід. Наприклад, для емпіричного доведення твердження про те, що сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 0. треба накреслити трикутник, виміряти транспортиром його кути і скласти їх величини. Вийде 180 0. Але ж цей результат характеризує саме цей, тільки що накреслений трикутник. Раптом у іншого трикутника сума внутрішніх кутів не дорівнюватиме 180 0. Для того щоб з'ясувати це, побудуємо інший трикутник, виміряємо транспортиром його кути і складемо їх величини. Знову вийде 180º. Однак, може виявитися, що у третього трикутника сума внутрішніх кутів буде відрізнятися від 180º. Накреслимо третій трикутник і виміряємо його кути ... Таким чином, щоб довести емпірично твердження про одну й ту ж суму внутрішніх кутів будь-якого трикутника, треба побудувати всі можливі трикутники, виміряти і скласти величини кутів у кожному з них. Зробити це, звичайно ж, ніхто не зможе, адже безліч всіх трикутників нескінченно. Як бачимо, в даному випадку безпосереднє, або емпіричне підтвердження не застосовується.
Яким же чином доводиться положення про суму внутрішніх кутів будь-якого трикутника? З курсу шкільної геометрії всім добре відомо, що воно виводиться не з видимої дійсності, або досвіду, а з інших, раніше доведених положень (теорем). Таке доказ є опосередкованим. Отже, якщо в безпосередньому доказі істинність або хибність будь-якого затвердження встановлюється на основі співвіднесення його з дійсністю, то в опосередкованому доказі якесь висловлювання підтверджується або спростовується за допомогою інших висловлювань, істинність яких встановлена раніше і не підлягає сумніву. Зрозуміло, що предметом уваги логіки є саме такий доказ.
5.2. структура докази
Опосередковане доказ має певну структуру, яка складається з трьох елементів:
1. Теза - це те, що доводиться (будь-яке судження, висловлювання, твердження і т. П.).
2. Аргументи. або підстави - це те, чим доводиться (будь-які судження, висловлювання, твердження і т. п. істинність яких встановлена раніше). Як бачимо, поняття аргументи і підстави є в логіці рівнозначними, а відповідні терміни представляють собою синоніми.
3. Демонстрація - це те, як доводиться. На перший погляд наявність цього третього елемента в структурі докази не зовсім зрозуміло: є теза, і є аргументи, які його обгрунтовують, або з яких він випливає, - ось, здається, і все доказ. Тут важливо згадати закон достатньої підстави, який вимагає не просто присутності аргументів в якомусь доказі, а й говорить про те, що вони повинні бути достатніми для доказу тези, т. Е. Зумовлюють його з достовірністю. Як уже зазначалося, часто зустрічаються ситуації, коли аргументи, або підстави є в наявності, але не є достатніми (Злочин скоїв Н. адже він сам в цьому зізнався). Більш того, нерідко буває так, що аргументи, або підстави взагалі не пов'язані з тезою (Ти винен вже тим, що хочеться мені їсти). Тому в доказі необхідно показати (продемонструвати) по-перше, зв'язок аргументів з тезою, а, по-друге, їх достатність для його підтвердження або спростування (без цього ніякого докази немає). Отже, третій і найбільш важливий елемент докази - це демонстрація, або спосіб зв'язку аргументів з тезою.
Розглянемо всі елементи докази за допомогою прикладу. Як тези візьмемо висловлювання: Шахи - це корисна гра. Аргументами в даному випадку можуть бути два судження:
1. Якщо щось розвиває мислення, то воно корисно;
2. Шахи розвивають мислення.
Якщо щось розвиває мислення, то воно корисно.
Шахи розвивають мислення.
5.3. Прямі та непрямі докази?
На підтвердження і спростування докази діляться, як ми вже знаємо, за метою, а за способом демонстрації вони бувають прямими і непрямими. У прямому доведенні істинність або хибність тези виводиться безпосередньо з аргументів, а в непрямому - підтвердження або спростування тези виводиться, відповідно, з хибності або істинності антитези (т. Е. Висловлювання, суперечить тезі). Інакше кажучи, в непрямому доказі розгляду піддається не теза, а антитеза: встановлюється його істинність або хибність. Далі, якщо антитеза виявляється істинним, то теза (згідно із законом виключеного третього) слід визнати помилковим; якщо ж антитеза хибна, то теза з необхідністю правдивий. Такі докази також часто називають доказами "від протилежного".
У попередньому параграфі було наведено приклад прямого доказу (в якому тезою було судження: Шахи - це корисна гра). Тепер розглянемо приклад непрямого докази. Як тези візьмемо висловлювання: Дві прямі перетинаються в єдиній точці (це одна з теорем геометрії). Для з'ясування істинності чи хибності цього твердження висунемо антитеза: Дві прямі перетинаються не в єдиній точці (т. Е. Вони мають дві, три або більше точок перетину). Розглядаючи цей вислів, ми помітимо, що якщо, наприклад, дві прямі перетинаються в двох точках, тоді через дві точки простору проходять дві прямі; а це суперечить відомої аксіоми про те, що через дві точки простору проходить одна і тільки одна пряма. Таким чином, дві прямі не можуть перетинатися в двох (а також - трьох, чотирьох і т. Д.) Точках, т. Е. Антитеза хибна, а теза, отже, правдивий.
Оскільки докази діляться на підтвердження і спростування, а також на прямі і непрямі, то всього можна виділити чотири види доказів:
1. пряме підтвердження,
2. непряме підтвердження,
3. пряме спростування,
4. непряме спростування.