Довжиною (абсолютною величиною або модулем) ненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина вектора (вектора) позначається так: | | (||). Довжина нульового вектора вважається рівною нулю: || = 0.
6.3 Основні властивості векторів
Два вектора називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням. Це означає, що існує паралельний перенос (визначення і властивості паралельного перенесення в цьому ж 8 класі на стор. 145), який переводить початок і кінець одного вектора в початок і кінець іншого вектора.
З даного визначення рівності векторів випливає, що рівні вектори однаково спрямовані і рівні за абсолютною величиною.
Зворотно: якщо вектори однаково спрямовані і рівні за абсолютною величиною, то вони рівні.
Нехай вектор має початком точку, а кінцем -. Координатами вектора будемо називати числа,. Координати вектора будемо ставити поруч з літерним позначенням вектора, в даному випадку або просто. Координати нульового вектора дорівнюють нулю.
де - відстань між точками і, слід, що абсолютна величина вектора з координатами дорівнює.
Рівні вектори мають рівні відповідні координати. І назад:
Якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.
Твором вектора на число називається вектор
Скалярним визначенням векторів і називається число.
Для скалярного твори векторів використовується така ж запис, як і для твору чисел. Скалярний твір позначається і називається скалярним квадратом. Очевидно,.
З визначення скалярного визначення векторів випливає, що для будь-яких векторів
.
Дійсно, ліва частина рівності є
Очевидно, що вони рівні.
Кутом між векторами і називається кут. Кутом між будь-якими двома ненульовими векторами і називається кут між рівними їм векторами із загальним початком. Кут між однаково спрямованими векторами вважається рівним нулю.
Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.
Нехай і - дані вектори і - кут між ними. маємо
Звідси видно, що скалярний твір виражається через довжини векторів, і +, а тому залежить від вибору системи координат, тобто скалярний добуток не зміниться, якщо систему координат вибрати спеціальним чином. Візьмемо систему координат так, як показано на рис.6.
При такому виборі системи координат координатами вектора будуть і, а координатами вектора будуть і. Це випливає з прямокутного:, тому що
,