Теорема. Число плоских кутів багатогранника вдвічі більше числа його ребер.
Нехай F11 F21 F11 - межі багатогранника, і нехай kt - число сторін межі F1. Якщо / - число ребер багатогранника, то
тому що кожне ребро є спільною стороною двох граней. Так як число плоских кутів для кожної грані дорівнює числу її сторін, то загальне число плоских кутів одно теж 2t.
Два багатогранника називаються ізоморфними, якщо можна встановити взаємно однозначну відповідність про між їх гранями, при ко Чорт. 1955
1) відповідні межі мають одне і те ж число сторін;
2) обидва боки, які мають загальне ребро, відповідають межі, також мають загальне ребро;
3) гранях, які мають загальну вершину, відповідають межі, також мають загальну вершину.
Прикладом ізоморфних багатогранників може служити усічена чотирикутна піраміда і чотирикутна призма.
Наведемо без доведення важливу теорему французького математика К о ш і (1813) про опуклих многогранниках.
Теорема Коші. Якщо кожні дві відповідні межі двох ізоморфних опуклих багатогранників рівні між собою, то дані багатогранники або рівні, або дзеркально рівні (§ 61).
Теорема Коші висловлює властивість «жорсткості» опуклого багатогранника. Не можна змінювати величину двогранні кутів опуклого багатогранника, не змінюючи при цьому кутів і сторін його граней.
§ 68. Теорема Ейлера для опуклих багатогранників
Теорема. Якщо п - число граней опуклого багатогранника, s - число його вершин, a t - число його ребер, то
Доведення. Візьмемо грань F даного багатогранника Ф і всередині неї точку S. Нехай S '- точка будь-який інший межі F' '. ОтрезокSS 'лежить по одну сторону від будь-якої з інших граней багатогранника. Отже, він не має спільних точок з жодною з цих граней. Так як Ф - опукла фігура, то всі внутрішні точки відрізка SS 'є внутрішніми точками багатогранника.
На поверхні даного багатогранника візьмемо ще одну точку теж не лежить на межі F. Відрізки SS 'та SS "не можуть мати спільних точок, крім точки S. Дійсно, якби ці відрізки мали дві спільні точки, то один з них виявився б частиною іншого , і тоді другий мав би всередині себе точку поверхні багатогранника Ф, що суперечить щойно зробленому висновку. звідси випливає, що відрізки, що з'єднують точку S гра-
ні F з точками інших граней, не мають інших спільних точок, крім загального кінця S.
Проведемо площину про, паралельну грані F і розташовану від неї по ту ж сторону, що і даний багатогранник (рис. 196). Відстань площині а від межі F візьмемо таким, щоб воно було менше відстані від площини грані F найближчій до цієї площини вершини
багатогранника, що не належить даній межі. Тоді вершини межі F і інші вершини багатогранника розташуються по різні боки від площини а. Тому площину а перетне всі межі, суміжні з межею F.
Нехай Fg - перетин многогранника площиною а (на кресленні - чотирикутник PQRN). Цим перетином даний багатогранник Ф ділиться на два багатогранника. Нехай Ф 'один з двох багатогранників, який розташований по той бік від площини а, по яку не схильна грань F.
Очевидно, що число граней багатогранника Ф 'дорівнює числу граней багатогранника Ф. Число вершин і число ребер багатогранника Ф', котрі належать до межі Fa. відповідно рівні числу вершин і числу ребер багатогранника Ф, котрі належать до межі F. Зміни в кількості вершин і ребер, отже, може відбутися тільки за рахунок заміни межі F гранню ^. очевидно,
що при цьому приріст числа сторін одно збільшенню числа вершин. Якщо s '- число вершин багатогранника Ф', а Ґ - число його ребер, то
Отже, якщо теорема Ейлера справедлива для багатогранника Ф ', то вона справедлива і для даного багатогранника.
Спроектуємо з центру S на грань F0 всі інші грані багатогранника Ф '. Як ми бачили вище, промені, що виходять з точки S і проходять через вершини D Д багатогранника Ф ', інших спільних точок не мають. Тому кожна з цих граней спроектується на грань F0 в однойменний кутника (рис. 197), і багатокутник F0 виявиться розкладеним при цьому на опуклі багатокутники, число яких дорівнює п-1 (т. Е. Кількістю інших Чорт. 197 граней).
Нехай k - число вершин багатокутника F0. Тоді всередині цього багатокутника розташується s '- k проекцій інших вершин багатогранника, які будуть вершинами багатокутників, що лежать всередині багатокутника F0.
Так як кожна грань проектується в багатокутник з тим же числом сторін, то сума всіх плоских кутів багатогранника Ф 'без кутів межі FQ дорівнює сумі кутів всіх багатокутників, на які виявилася розкладеною грань F0. Підрахуємо останню.
Сума всіх кутів з вершинами всередині багатокутника F0 дорівнює И (sr - k). Сума всіх кутів з вершинами, що збігаються з вершинами багатокутника FQ. дорівнює сумі кутів цього багатокутника, т. е. 2d (k - 2). Звідси отримаємо шукану суму кутів:
Попередня 66 67 68 69 70 71. 79 >> Наступна