Корінь квадратний з дисперсії називається середньоквадратичне відхилення випадкової величини. Його ми будемо позначати символом.
Якщо дисперсія - це характеристика розсіювання, то математичне очікування - це характеристика стану значень випадкової величини на числовій осі. Значення випадкової величини групуються біля її математичного очікування з якимсь розсіюванням, обумовленим дисперсією випадкової величини.
Математичне сподівання не єдина характеристика положення випадкової величини.
Модою випадкової велічіниxназивается її найбільш ймовірне значення (то значеніеx, для якого щільність розподілу досягає максимуму).
Медианой випадкової велічіниxназивается величина, для якої виконується рівність:.
Розглянемо як знаходити математичні очікування функцій від випадкової величини для дискретних випадкових величин.
Нехай x дискретна випадкова величина, що приймає значення з імовірностями.
Таким чином, для дискретних випадкових величин математичне сподівання і дисперсія обчислюються за формулами:
Неважко знайти інший вираз для дисперсії, якщо в її визначенні розкрити дужки:
Знайдемо математичне сподівання і дисперсію розглянутих раніше випадкових величин.
Бернуллиевского випадкова величина
Рівномірно розподілена випадкова величина
Експоненціальна випадкова величина
Гауссовская випадкова величина
Тут перший інтеграл дорівнює нулю, як інтеграл від непарної функції в симетричних межах. Другий інтеграл дорівнює одиниці за умовою нормування щільності розподілу гауссовской випадкової величини з параметрами.
Таким чином, параметр розподілу - це математичне очікування гауссовской випадкової величини.
Останній інтеграл візьмемо по частинах, поклавши
Тоді остаточно отримаємо:.
Параметр розподілу - є дисперсія гауссовской випадкової величини.
Таким чином, щільність розподілу гауссовской випадкової величини залежить від двох параметрів: математичного очікування і дисперсії.
2.5. Характеристична функція випадкової величини
Определеніе.Характерістіческой функцією випадкової велічіниxназивается комплексно-значна функція.
Тут j - уявна одиниця.
З цього визначення випливає, що характеристична функція по суті являє собою перетворення Фур'є щільності розподілу випадкової величини x.
Якщо відома характеристична функція випадкової величини x. то щільність розподілу можна знайти за допомогою зворотного перетворення Фур'є:
Таким чином, характеристична функція, як і щільність розподілу, повністю визначає випадкову величину і дозволяє знайти ймовірності будь-яких подій, пов'язаних з випадковою величиною.
У теорії ймовірностей дуже часто користуються терміном «закон розподілу випадкової величини».
Задати закон розподілу випадкової величини - це або задати її функцію розподілу, або щільність розподілу, або ряд розподілу (для дискретних випадкових величин), або характеристичну функцію.
Властивості характеристичної функції випливають з її визначення:
Властивість 2 дозволяє досить просто по характеристичної функції обчислювати математичне сподівання і дисперсію випадкової величини, замінюючи інтегрування, більш простою операцією - дифференцированием:
Знайдемо характеристичну функцію бернуллиевского випадкової величини, її математичне сподівання і дисперсію.
Обчислити математичне сподівання і дисперсію біноміальної випадкової величини за допомогою ряду розподілу досить важко. А ось за допомогою характеристичної функції це дуже просто.
Відповідно до формули, яка називається біном Ньютона, отримаємо:.
Знайдемо характеристичну функцію рівномірно розподіленої випадкової величини.
Характеристична функція експоненційної випадкової величини має вигляд:
Обчислимо характеристическую функцію гауссовской випадкової величини. Методика її обчислення знадобиться нам і надалі.
Отже, характеристична функція гауссовской випадкової величини обчислюється за формулою:
Для обчислення характеристичної функції використовується співвідношення:
справедливе при будь-якому а.
Наведемо вираз в інтегралі (1) до повного квадрату:
Тоді, використовуючи умова нормування (2), отримаємо:
Таким чином, характеристична функція гауссовской випадкової величини дорівнює:
2.6. Функціональні перетворення випадкових величин
В інженерному застосуванні теорії ймовірностей часто виникає необхідність визначення законів розподілу функцій від випадкових величин. Цьому питанню і присвячений даний параграф.
Нехай - строго монотонна функція. - область визначення функції, D - область її значень. У цьому випадку існує функція, зворотна, яку будемо позначати. Областю визначення зворотної функції є D. а областю значень безліч Q. Для прямого і зворотного функції справедливі співвідношення:
Зворотна функція також є строго монотонною. Причому, якщо - монотонно зростаюча, то і - також монотонно зростаюча. Якщо - монотонно спадна, то і - монотонно спадна.
Отже, нехай - монотонно зростаюча функція, - випадкова величина з функцією розподілу і щільністю розподілу. Знайдемо щільність розподілу випадкової величини.
За визначенням функція розподілу випадкової величини дорівнює:.
Вирішимо нерівність щодо випадкової величини, отримаємо:
Таким чином, функція розподілу випадкової величини отримана. Диференціюючи її за x. отримаємо щільність розподілу:
Тепер нехай - монотонно спадна. Тоді функція розподілу випадкової величини дорівнює:
Вирішуючи нерівність щодо випадкової величини, необхідно врахувати, що, застосовуючи до обох частин нерівності монотонно убуває перетворення, знак нерівності необхідно змінити на протилежний:
Таким чином, для функції розподілу випадкової величини отримаємо:
Диференціюючи це рівність по x (в узагальненому сенсі), отримаємо:
Якщо врахувати, що похідна монотонно спадної функції негативна, для будь-якого монотонного перетворення отримаємо:
Нехай не є монотонною функцією, але може бути розбита на строго монотонні ділянки точками x1, x2, ..., xn (рис. 13)
Тоді на кожній з ділянок функція строго монотонна і, отже, має зворотну. Зворотні функції позначимо. Без обмеження спільності, припустимо, що - зростаюча функція. Тоді - спадна, - зростаюча і т. Д. (Див. Рис. 13).
Для функції розподілу випадкової величини отримаємо:
Підсумовувані події виду - несумісні, отже, на підставі аксіоми ймовірності, отримаємо:
Зазначені ймовірності можна обчислити через щільність ймовірності випадкової величини x:
Диференціюючи функцію розподілу випадкової величини, отримаємо щільність розподілу:
З огляду на, що похідна монотонно спадної функції негативна, остаточно отримаємо:
Розглянемо особливі випадки перетворення випадкових величин.
1. Нехай на якій-небудь ділянці області визначення функції ця функція постійна (). Ясно, що зворотної функції на цій ділянці не існує. тоді:
Ввівши функцію Хевісайда цей вислів можна записати у вигляді:
Виконавши узагальнене диференціювання, для відповідного доданка щільності розподілу в сумі (3), отримаємо:
2. Нехай на якій-небудь ділянці монотонності функція має розрив першого роду в точці () (рис. 14). Для визначеності будемо вважати цю функцію монотонно зростаючою. Тоді зворотна функція буде мати три гілки (рис. 15)
Виконавши узагальнене диференціювання, для відповідного доданка щільності розподілу в сумі (1), отримаємо:
Розглянемо приклади функціональних перетворень випадкової величини.
Лінійне перетворення випадкової величини.
Нехай, де і b невипадкові величини.
В даному випадку . Це перетворення монотонно і зворотне перетворення має вигляд:
Таким чином,, і щільність розподілу випадкової величини дорівнює:
Математичне сподівання, дисперсія і характеристична функція лінійного перетворення випадкової величини рівні:
Нехай. Знайти щільність розподілу випадкової величини
Якщо скористатися описаної вище методикою, то отримаємо:
Випадкова величина піддається нелінійному перетворенню виду:. Знайти щільність розподілу випадкової величини
Перетворення виду не є однорідним, але можна визначити монотонні гілки на відрізках і. Відповідні цим гілкам зворотні функції рівні:
Відповідно до виразом (3) для щільності розподілу випадкової величини отримаємо:
Те ж саме можна отримати, якщо скористатися методикою обчислення функції розподілу:
Обчислюючи узагальнену похідну, отримаємо:
Випадкова величина . Знайти щільність розподілу випадкової величини.
Скористаємося методикою обчислення функції розподілу. для:
Обчислюючи похідну, отримаємо:
Нехай - випадкова величина з функцією розподілу. Випадкова величина виходить з за допомогою перетворення:. Знайти щільність розподілу випадкової величини.
Нехай - безперервна функція, яка збільшується. Тоді існує монотонно зростаюча зворотна функція. Областю визначення цієї функції є відрізок [0,1], а областю значень - числова вісь.
Таким чином, щільність розподілу випадкової величини є рівномірним:.
Нехай - випадкова величина, рівномірно розподілена в відрізку [0,1]. Знайти таке перетворення випадкової величини, щоб отримати випадкову величину з заданою функцією розподілу.
Нехай - довільна монотонно зростаюча функція.
Тоді, використовуючи властивості функції розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини, отримаємо:
Неважко бачити, що бажаний результат вийде, якщо покласти
Таким чином, для отримання випадкової величини з заданим законом розподілу з рівномірно розподіленим в відрізку [0,1] випадкової величини, необхідно виконати наступне перетворення:
Ця формула широко використовується при моделюванні на ЕОМ випадкових величин із заданим законом розподілу. Наприклад, для отримання експоненціально розподіленої випадкової величини з щільністю розподілу необхідно виконати наступне перетворення рівномірно розподіленої випадкової величини:.
3. Випадкові вектори
3.1. Вектори і матриці
Нагадаємо деякі поняття з лінійної алгебри.
Определеніе.Пусть А і В два безлічі. Під прямим твором множин А і В розуміють сукупність пар.
Аналогічним чином можна визначити пряме твір кінцевого числа множин.
Для елементів твори прийнята запис у вигляді n-членних послідовностей (n-нок), де на k-тому місці стоїть елемент k-го безлічі:. Якщо все безлічі прямого твори однакові, замість пишуть.
Зокрема, якщо безліч А є безліч дійсних чисел R. тобто безліч (n-нок) дійсних чисел. Його елементи прийнято називати точками, а числа координатами точки.
Определеніе.Множество називається лінійним (векторних) простором, якщо виконуються наступні аксіоми:
1.Якщо (для кожних двох його елементовxіyопределена їх суммаx + y, що належить цьому ж безлічі).
2. Для будь-якого дійсного числа визначено твір.
3.- асоціативність додавання;
4.- коммутативность складання;
5. У існує нульовий елемент, такий, що для будь-кого.
Елементи простору називаються векторами, а елементи простору називаються скалярами.
Надалі будемо припускати, що кожен вектор x записується у вигляді стовпчика:.
Введемо операцію транспонування векторів: - координати вектора записуються в рядок.
Определеніе.Скалярним твором векторів в просторі називають функцію, яка кожній парі векторів з ставить у відповідність дійсне число. Скалярний добуток векторів обчислюється за формулою:.
Властивості скалярного твори
1. З визначення скалярного твори слід, що. Якщо.
2. Для будь-яких двох скалярів і справедливо:,.
4. - нерівність Коші-Буняковського.
Доведемо нерівність Коші-Буняковського.
З властивості 1) випливає, що. З властивості 2) отримаємо:. Так як це нерівність справедливо для будь-якого, між іншим. Підставляючи цей вираз, отримаємо нерівність Коші-Буняковського.
Определеніе.Пусть і два векторних простору. Лінійним оператором з в називається відображення вигляду, де. У цьому випадку говорять, що лінійний оператор задається матрицею А розміру виду:.
Якщо А вихідна матриця, то транспонованою називається матриця виду:
Очевидно, що якщо А діє з в, то діє з в:.
Квадратна матриця, на головній діагоналі якої стоять одиниці, а інші елементи рівні нулю, називається одиничною матрицею:. Тут - символ Кронекера.
Нехай А лінійний оператор з в,.
Знайдемо скалярний добуток векторів y і z:
Таким чином, справедливо співвідношення:
З через великий обсяг цей матеріал розміщений на декількох сторінках:
1 2 3 4 5 6 7