ПЛОЩА КОЛА ТА ЙОГО ЧАСТИН.
26. (262.) Лемма.Прі необмеженій подвоєнні числа сторін правильного вписаного багатокутника сторона його може стати як завгодно малою.
Нехай п є число сторін правильного вписаного багатокутника і р - його периметр; тоді довжина одного боку цього багатокутника виразиться дробом p / n. При необмеженій подвоєнні числа сторін багатокутника знаменник цього дробу буде, очевидно, зростати необмежено, а чисельник, т. Е. Р. хоча і буде зростати, але не безмежно (так як периметр всякого вписаного опуклого багатокутника завжди залишається меншим периметра будь-якого описаного багатокутника). Якщо ж у якійсь дробу знаменник необмежено зростає, а чисельник залишається менше деякої постійної величини, то дріб ця може стати як завгодно малою. Значить, те ж саме можна сказати про стороні правильного вписаного багатокутника: при необмеженій подвоєнні числа сторін вона може стати як завгодно малою.
27. (263.) Слідство. Нехай АВ (рис. 25) є сторона правильного вписаного багатокутника, ОА - радіус і ОС - апофема. З / \ ОАС знаходимо:
АТ - ОС<АС, т. е.
Але при необмеженій подвоєнні числа сторін правильного вписаного багатокутника сторона його, як ми зараз довели, може стати як завгодно малою, значить, те ж саме можна сказати і про різниці АТ - ОС. Таким чином, при необмеженому подвоєнні числа сторін правильного вписаного багатокутника різниця між радіусом і апофемой може стати як завгодно малою. Це ж можна висловити іншими словами так: при необмеженій подвоєнні числа сторін правильного вписаного багатокутника межа, до якого прагне апофема, є радіус.
28. (264.) Площа кола. Впишемо в коло, радіус якого позначимо R, який-небудь правильний багатокутник. нехай
площа цього багатокутника буде q,
периметр »» »р,
апофема »» »а.
За формулою обчислення площі правильного багатокутника маємо:
Уявімо тепер, що число сторін цього багатокутника необмежено подвоюється. Тоді периметр р і апофема а (отже, і площа q) будуть збільшуватися, причому периметр буде прагнути до межі, що приймається за довжину З окружності, апофема буде прагнути до межі, рівному радіусу R кола. З цього випливає, що площа багатокутника, збільшуючись при подвоєнні числа сторін, буде прагнути до межі, рівному 1/2 З • R. Межа цей приймається за чисельну величину площі кола. Таким чином, позначивши площа кола буквою К, можемо написати:
т. е. площа кола дорівнює половині твори довжини окружності на радіус.
Так як С = 2πR, то
К = 1/2 • 2πR • R = πR 2,
т. е. площа кола дорівнює квадрату радіуса, помноженому на відношення довжини кола до діаметру.
29. (265.) Следствіе.Площаді кіл відносяться, як квадрати радіусів або діаметрів.
Дійсно, якщо K і K1 будуть площі двох кіл, a R і R1 - їх радіуси, то
30. (266.) Зада.ча 1. Обчислити площу кола, довжина кола якого дорівнює 2 м.
Для цього попередньо знаходимо радіус R з рівності:
2πR = 2, звідки R = 1 / π = 0,3183.
Потім визначимо площа кола:
31. (267.) Завдання 2. Побудувати квадрат, рівновеликий даному колу.
Це завдання, відома під назвою квадратури до р у г а, не може бути вирішена за допомогою циркуля і лінійки. Дійсно, якщо позначимо літерою х сторону шуканого квадрата, а буквою R радіус кола, то отримаємо рівняння:
т. е. х є середня пропорційна між півколом і радіусом. Отже, якщо відомий відрізок, довжина якого дорівнює довжині півкола, то легко побудувати квадрат, рівновеликий даному колу, і, назад, якщо відома сторона квадрата, рівновеликого кругу, то можна побудувати відрізок, рівний по довжині півкола. Але за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати відрізок, довжина якого дорівнювала б довжині півкола; отже, не можна в точності вирішити задачу про побудову квадрата, рівновеликого кругу. Наближене рішення можна виконати, якщо попередньо знайти наближену довжину півкола і потім побудувати середню пропорційну між відрізком цієї довжини і радіусом.
32. (268.) Теорема.Площадь сектора дорівнює добутку довжини його дуги на половину радіуса.
Нехай дуга АВ (рис. 26) сектора АОВ містить п °. Очевидно, що площа сектора, дуга якого містить 1 °, становить 1/360 частина площі кола, т. Е. Вона дорівнює
. Отже, площа S сектора, дуга якого містить п °, дорівнює:
Так як дріб - висловлює довжину дуги АВ (§ 23), то, позначивши її буквою s, отримаємо:
33. (269.) Площа сегмента. Для знаходження площі сегмента, обмеженого дугою s і хордою АВ, треба окремо обчислити площу сектора AOBs A і площа трикутника АОВ. Потім з площі сектора AOBs A відняти площу трикутника АОВ, якщо дуга сегмента менше 180 °. Якщо ж дуга сегмента більше 180 °, то до площі сектора AOBs A треба додати площу трикутника АОВ (рис. 26 і 27).
Конструктор uCoz