Глава 2. Математична теорія споживання
Первинними елементами економіки є товари і учасники. Під товарами розуміється все, що є предметом угод в даному суспільстві, в тому числі і послуги. Кожен учасник економіки діє одночасно як покупець і продавець товарів. Розглянемо поведінку окремого учасника економіки, як споживача товарів. Це завдання розглядається з точки зору раціонального розподілу особистого бюджету (доходу) споживача, яка, в кінцевому рахунку, зводиться до вирішення питання про те, яка кількість кожного наявного товару він повинен придбати при заданих цінах і відомому доході.
Для отримання математичної моделі задачі споживача необхідно формалізувати такі поняття як товар, мета споживання товарів, ціна товару, бюджет і купівельна спроможність споживача.
Будемо припускати, що кількість кожного товару можна вимірювати речовим невід'ємним числом (в штуках, в кілограмах, в метрах, в літрах, в людино-годинах і т.д.). Нехай на ринку виробляється і продається видів товарів. Вид товару будемо позначати індексом. Позначимо через кількість -го товару. Вектор будемо називати набором товарів. Якщо в наборі для деяких. то будемо говорити, що товар виду не набувається даними споживачем. Безліч називається простором товарів. Зауважимо, що на кількість товарів не накладаються обмеження зверху. Інакше кажучи, ми припускаємо, що на ринку існує достатня кількість товарів. Іноді в виділяється деяка підмножина. як безліч реально застосовуваних товарів, на якому визначені інтереси даного споживача. В набори товарів можна складати між собою або множити на невід'ємне число; в віднімання неможливо, якщо при цьому виходить негативне кількість товару. Людина набуває (купує) товари з метою максимального задоволення своїх потреб. У кожного є свої смаки, кожен по своєму оцінює користь чи шкода від споживання товару. Тому споживач прагне вибрати в просторі «кращий» з його індивідуальної точки зору товар. При порівнянні двох наборів і одні віддадуть перевагу. інші -.
Для того щоб формалізувати вибір споживача з урахуванням його мети, в просторі визначимо (індивідуальне) відношення переваги. позначається символом. За допомогою цього відносини будь-який набір можна порівняти з іншим набором. Запис означає, що або краще ніж. або набори і для споживача байдужі. Зауважимо, що стосовно набір товарів розглядається як одне ціле (на відміну від векторного нерівності. Розуміється покомпонентно).
Суворе перевагу має місце, якщо і тільки якщо. а несправедливо. Кажуть, що набори і байдужі для даного споживача (позначають) тоді і тільки тоді, коли і. індивідуальне ставлення
можна розглядати як відображення, яке кожному набору ставить у відповідність безліч всіх тих наборів товарів, які пов'язані зі ставленням байдужості. Таким чином, ставлення байдужості розбиває весь простір на класи еквівалентності (байдужості).
Виходячи з логіки порівняння товарів, вимагатимемо, щоб ставлення задовольняло наступним аксіомам:
а1) рефлексивність. для будь-якого справедливо;
А2) транзитивність. для будь-кого. таких, що справедливо;
а3) повнота. для будь-яких небудь. небудь. небудь.
Крім того, для відносини байдужості виконується аксіома симетричності:
Наведемо приклади конкретних відносин переваги та байдужості.
Приклад 2.1. Для порівняння будь-яких наборів попередньо проведемо ранжування (впорядкування) компонентів цих векторів (тобто видів товарів) за важливістю для даного споживача: товар виду важливіше, ніж товар виду Після цього визначимо відношення в такий спосіб:. якщо виконано одну з умов:
Таке ставлення називається словниковим перевагою. так як воно визначено за правилом складання списку найменувань за алфавітом. Можна показати, що відношення лексикографічного переваги задовольняє аксіомама1), а 2), а3).
Приклад 2.2. Нехай. а такий набір, що для кожного знайдеться хоча б один індекс. для котрого . Для такого набору визначимо відношення байдужості наступним чином:. якщо не має місце для всіх. причому хоча б одне нерівність суворе.
Це відношення байдужості породжує в безліч еквівалентності зване безліччю Парето.
Відношення переваги на практиці виявляється експериментальним шляхом, шляхом порівняння наборів товарів попарно і опитуванням споживача, який набір він віддає перевагу. Реально таку роботу можна провести в разі невеликого числа товарів. Перевага споживача мінливе і залежить від багатьох умов: цін товару, його доходу, що є у нього запасу товарів, сезону, стану здоров'я, настрою і т.д. Тому не можна раз і назавжди визначити за споживачем незмінні принципи переваги. Отже, при повторному моделюванні поведінки споживача його перевагу потрібно формалізувати заново з урахуванням мінливих умов. В принципі немає нічого складного в тому, щоб взяти два набору товарів і запитати споживача, який з них він вважає за краще і в результаті послідовного опитування знайти шукану закономірність. Набагато складніше виявити перевагу цілої групи людей або суспільства, так як неможливо по кожній парі наборів товарів проводити голосування або референдум і очікувати, що результати будуть однозначними.
Крім основних аксіом а1), а 2), а3) відношення переваги може мати ряд змістовних властивостей, наприклад:
а4) безперервність. для будь-яких безліч є відкритим підмножиною декартово твори;
а5) ненасищаемость. для будь-яких з нерівності випливає і з нерівностей. слід;
А6) опуклість. для будь-яких з відносини слід. де.
Змістовно безперервність означає, що якщо строго краще. то при малій зміні кожного з них відношення строгого переваги зберігається. Значимість цієї властивості полягає в тому, що безперервне відношення переваги можна замінити (змоделювати) звичайної числової функцією. Прикладом відносини переваги, яке не має властивість безперервності, є лексикографическое перевагу.
Якщо усі товари хорошої якості, то природно, більша їх кількість буде краще, ніж менше. Цей факт відображений у властивості ненасищаемості. Воно означає відсутність такого набору. що для всіх (відсутність точки насичення).
Опуклість відносини переваги означає, що якщо набір переважніше набору. то будь-яке їхнє поєднання залишається краще ніж.