Знайдіть найменше значення функції f (x) = x 3 - 3x 2 - 9x + 31 на відрізку [-1; 4].
Нагадаємо, що будь-яка функція приймає найменше або найбільше значення тоді, коли її похідна дорівнює нулю або не існує.
Знайдемо похідну y'(x) і прирівняємо її до нуля.
y '(x) = (x 3 -3x 2 -9x + 31)' = 3x 2 - 6x - 9 - існує при будь-яких x.
Скоротимо на 3: x 2 - 2x - 3 = 0
D = b 2 -4ac, D = (-2) 2 - 4 * 1 * (- 3) = 4 + 12 = 16
x1 = -1, x2 = 3 - в цих точках функція y (x) приймає найменше або найбільше значення.
Коли похідна менше нуля, функція спадає.
Коли похідна більше нуля, функція зростає.
Подивимося на знаки похідної.
при x<-1 y ´ (x)>0, функція y (x) зростає
при -1 При х> 3 y '(x)> 0, функція y (x) зростає На відрізку [-1; 4] функція спадає до точки х = 3 і зростає після неї, значить найменше значення в точці 3. Підставами х = 3 в функцію, отримуємо: y (3) = 3 3 - 3 * 3 2 - 9 * 3 + 31 = 27-27-27 + 31 = 4, це і буде відповідь. Знайдіть найменше значення функції y = 4cosx + 13x + 9 на відрізку [0; 3П / 2]. Нагадаємо, що будь-яка функція приймає найменше або найбільше значення тоді, коли її похідна дорівнює нулю або не існує. Знайдемо похідну y'(x). y'(x) = (4cosx + 13x + 9) '= -4sinx + 13 Зауважимо, що y'(x)> 0 при будь-яких x, так як -4sinx + 13> 0 ⇔ -4sinx<-13 ⇔ 4sinx<13, sinx<13:4, sinx<3,25 как мы знаем, это выполнимо всегда, так как sinx≤1. Робимо такий висновок: оскільки похідна y'(x)> 0 при x∈ [0; 3П / 2]. то функція зростає на цьому відрізку і найменше значення буде при найменшому x їх цього відрізка - це x = 0. Підставами x = 0 в y (x) і отримаємо y (x) = 4cos * 0 + 13 * 0 + 9 = 13. Знайдіть найбільше значення функції y = ln (7x) -7x + 7 на відрізку [1/14; 5/14]. Щоб знайти найбільше значення функції y = ln (7x) -7x + 7 на відрізку [1/14; 5/14], знайдемо похідну функції у'(х): у'(х) = (ln (7x)) '- (7x)' + 7 '= 1 / 7x * (7x)' - 7 + 0 = 1 / 7x * 7 - 7 = 1 / x - 7. Використовували формулу (f (g (x))) '= f' (g (x)) * g '(x). Прирівняємо похідну до нуля, щоб знайти точку максимуму: Зауважимо, що при х ∈ [1/14; 1/7] похідна у'(х)> 0, а при х ∈ [1/7; 5/14] похідна у'(х)<0, то есть до точки х=1/7 функция возрастает, а после - убывает. Значить, функція у (х) прийме найбільше значення в точці х = 1/7. Знайдемо його: у (1/7) = ln (7 * 1/7) - 7 * 1/7 + 7 = ln1 - 1 + 7 = 0-1 + 7 = 6. Знайдіть найменше значення функції y = (x 2 -7x + 7) * e x-5 на відрізку [4; 6]. Нагадаємо, що будь-яка функція приймає найменше або найбільше значення тоді, коли її похідна дорівнює нулю або не існує. Знайдемо похідну y'(x) і прирівняємо її до нуля. y '(x) = (2x-7) * e x-5 + (x 2 -7x + 7) * e x-5 = e x-5 * (x 2 -5x) = e x-5 * x * (x-5). Бачимо, що похідна дорівнює нулю при x1 = 0 і x2 = 5 Зауважимо, що при х ∈ [4; 5) похідна y'(x)<0 и значит функция убывает при х ∈ (5; 6] похідна y'(x)> 0 і це свідчить про те зростає Тобто при х = 5 y'(x) змінює знак з - на +, значить при х = 5 найменше значення: у (5) = (5 2 - 7 * 5 + 7) * е 5-5 = (25 - 35 + 7) * е 0 = -3 * 1 = -3. Знайдіть точку максимуму функції y = log4 (-3 + 4х-х 2) + 7. Функція y = log 4 (-3 + 4х-х 2) + 7 зростає, так як підставу логарифма більше 1. Тому точкою максимуму буде та точка, в якій вираз під знаком логарифма буде приймати максимальне значення. Проаналізуємо вираз х 2 + 4х-3. Зауважимо, що графіком цієї функції буде парабола, гілки якої спрямовані вниз, а значить максимальне значення буде в вершині параболи. Залишається знайти абсциссу вершини параболи x0 = -b / 2a = 4/2 * (- 1) = 2. При х0 = 2 вираз під логарифмом прийме найбільше значення, а значить і y = log 4 (-3 + 4х-х 2) + 7 теж.Схожі статті