Гамма-функцією називається інтеграл Бета-функція і її властивості
Область визначення гамма-функції Г (ж) В інтегралі (1) є особливості двох типів: 1) інтегрування по променя 2) в точці подинтегральная функція звертається в нескінченність. Щоб розділити ці особливості, уявімо функцію Г (ж) у вигляді суми двох інтегралів Гамма-функцією називається інтеграл Область визначення гамма-функції Деякі властивості гамма-функції Бета-функція і її властивості Область визначення бета-функції Застосування інтегралів Ейлера в обчисленні визначених інтегралів і розглянемо кожен з них окремо. Так як то інтеграл сходиться при (за ознакою порівняння). Інтеграл сходиться при будь-якому х. Справді, взявши довільне. отримаємо, що при будь-якому х При інтеграл сходиться, отже, інтеграл сходиться при будь-якому x. Тим самим, сходиться при і ми довів і, що областю визначення гамма-функції Г (ж) є полупрямая Покажемо, що інтеграл (1) сходиться рівномірно по х на будь-якому відрізку Нехай. Тоді при маємо інтеграли в правих частинах формул (2) і (3) сходяться, а за ознакою Вейєрштрасса рівномірно сходяться інтеграли, що стоять в лівих частинах нерівностей (2) і (3). Отже, в силу рівності отримуємо рівномірну збіжність Г (х) на будь-якому відрізку [с, й], де. З рівномірної збіжності Г (ж) випливає безперервність цієї функції при Деякі властивості гамма-функції 1. (гамма-функція при х> 0 не має нулів). 2. При будь-якому х> 0 має місце формула приведення для гамма-функції 3. При х = п має місце формула При х = 1 маємо Користуючись формулою (4), отримаємо Застосовуючи формулу п раз, при отримуємо 4. Крива у = Г ( х) опукла вниз. Справді, Звідси випливає, що похідна на променя може мати тільки один нуль. А так як. то по теоремі Ролля цей нуль х0 похідною Г '(х) існує і лежить в інтервалі (1,2). Оскільки. то в точці х0 функція Г (х) має мінімум. Можна показати, що на (0, + оо) функція Г (х) диференційовна будь-яке число раз. З формули бо неперервна і при 6. Формула доповнення. Графік гамма-функції має вигляд, зображений на рис. 4. § 4. Бета-функція і її властивості Бета-функцією називається інтеграл залежить від параметрів 4.1. Область визначення бета-функції В (х) Підінтегральна функція при має дві особливі точки Для відшукання області визначення представимо інтеграл (7) у вигляді суми двох інтегралів перший з яких (за наявності) має особливу точку. а другий (при - особливу точку t = 1. Інтеграл - невласний інтеграл 2-го роду. Він сходиться за умови, що при. а інте! рал Гамма-функцією називається інтеграл Область визначення гамма-функції Деякі властивості гамма-функції Бета-функція і її властивості Область визначення бета-функції Застосування інтегралів Ейлера в обчисленні визначених інтегралів сходиться при Тим самим, бета-функція в (х> у) визначена для всіх позитивних значень хну. Можна довести, що інтеграл (7) рівномірно сходиться в кожній області х ^ а> 0, У> Ь> Оу так що бета-функція епреривна при Деякі властивості бета-функції 1. При справедлива формула Бета-функція є симетричною відносно хну, Це випливає з формули (9). §5. Застосування інтегралів Ейлера в обчисленні визначених інтегралів Розглянемо кілька прикладів. Приклад 1. Обчислити інтеграл 4 Введемо заміну отримуємо Тому Приклад 2. обчислити інтеграл Покладемо. тоді. межі інтегрування залишаються колишніми, так що заданий інтеграл зводиться до бета-функції: Приклад 3. Виходячи з рівності обчислити інтеграл Тут ми скористалися визначенням бет а-функції і формулами Вправи Обчисліть межі: Знайдіть похідні F '(y) для наступних функцій: о. Виходячи з рівності. обчисліть інтеграл 7. Використовуючи рівність. шляхом диференціювання по параметру отримаєте наступну формулу: 8. Доведіть, що інтеграл рівномірно сходиться по у на всій дійсній осі. 7 dx 9. Доведи ті, що інтеграл сходиться рівномірно по параметру s на будь-якому відрізку 10. Використовуючи рівність обчисліть шляхом диференціювання по параметру інтеграл За допомогою ейлерову інтегралів обчисліть наступні інтеграли: Висловіть через Ейлерови інтеграли: Гамма-функцією називається інтеграл Область визначення гамма-функції деякі властивості гамма-функції бета-функція і її властивості Область визначення бета-функції Застосування інтегралів Ейлера в обчисленні визначених інтегралів ціле позитивне) Доведемо, що інтеграл рівномірний про сходиться на всій дійсній осі: 1) має місце співвідношення всякого як Л (е), що згадується у визначенні невласного інтеграла, рівномірно сходиться по параметру у, можна взяти При В> А матимемо Доведемо, що інтеграл / ( «) = / рівномірно сходиться при а Так як при О 1 і інтеграл сходиться, то щодо достатнього ознакою Вейєрштрасса робимо висновок, чгто даний інтеграл рівномірно сходиться. 10. Маємо Дифференцируя п раз про