Гармонійним осцилятором називається система, яка здійснює коливання, описувані рівнянням виду (140.6):
Коливання гармонічного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і служать точною або наближеною моделлю у багатьох задачах класичної та квантової фізики. Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур (для струмів і напруг настільки малих, що елементи контуру можна було б вважати лінійними; см. §146).
1. Пружинний маятник - це вантаж масою. підвішений на абсолютно пружної пружині і здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = - k x, де k - коефіцієнт пружності, в разі пружини званий жорсткістю. Рівняння руху маятника
З виразів (142.1) і (140.1) слід, що пружинний маятник здійснює гармонійні коливання за законом з циклічною частотою
Формула (142.3) справедлива для пружних коливань в межах, в яких виконується закон Гука (див. (21.3)), т. Е. Коли маса пружини мала в порівнянні з масою тіла.
Потенційна енергія пружинного маятника, згідно (141.5) і (142.2), дорівнює
2. Фізичний маятник - це твердо тіло, що здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої горизонтальної осі підвісу, що не проходить через центр мас С тіла (ріс.201).
Якщо маятник відхилений з положення рівноваги на деякий кут. то відповідно до рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла (18.3) момент М повертає сили можна записати у вигляді
де - момент інерції маятника щодо осі, що проходить через точку О, l - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника, - повертає сила (знак мінус обумовлений тим, що напряму. і завжди протилежні; відповідає малим коливанням маятника, т. е. малим відхилень маятника з положення рівноваги).
Рівняння (142.4) можна записати у вигляді
ідентичне з (142.1), рішення якого (140.1) відомо:
З виразу (142.6) слід, що при малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонійні коливання з циклічною частотою (див. (142,5)) і періодом
де L = J / (ml) - приведена довжина фізичного маятника.
Точка О 'на продовженні прямої ОС, що відстоїть від осі підвісу на відстані приведеної довжини L. називається центром хитань фізичного маятника (рис. 201). Застосовуючи теорему Штейнера (16.1), отримаємо
т. е. ГО 'завжди більше ОС. Точка підвісу О і центр хитань О 'мають властивість взаємозамінності. якщо вісь підвісу перенести в центр хитань, то точка О колишньої осі підвісу стане новим центром хитань і період коливань фізичного маятника не зміниться.
3. Математичний маятник - це ідеалізована система, що складається з матеріальної точки масою m. підвішеною на нерастяжимой невагомою нитки, і коливається під дією сили тяжіння. Хорошим наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, підвішений на тонкій довгій нитки.
Момент інерції математичного маятника
де l - довжина маятника.
Так як математичний маятник можна представити як окремий випадок фізичного маятника, припустивши, що вся його маса зосереджена в одній точці - центрі мас, то, підставивши вираз (142.8) в формулу (142.7), отримаємо вираз для періоду малих коливань математичного маятника
Порівнюючи формули (142.7) і (142.9), бачимо, що якщо приведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині l математичного маятника, то їх періоди коливань однакові. Отже, наведена довжина фізичного маятника - це довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника.