b) Зворотно, якщо для деякої точки O виконується ця рівність, то точка Z - центр мас даної системи матеріальних точок. 2. Для кінцевої системи матеріальних точок з ненульовою сумою мас існує і єдиний центр мас.
Далі скрізь, говорячи про систему матеріальних точок, ми будемо припускати, що сума мас її точок відмінна від нуля.
3. Правило важеля. Центр мас Z двох матеріальних точок (M 1. m 1), (M 2. m 2) з невід'ємними масами розташований на відрізку M 1 M 2. причому m 1 · | M 1 Z | = M 2 · | M 2 Z |. 4. Правило угруповання. Нехай дана система матеріальних точок (M 1. m 1), (M 2. m 2). (M n. M n) і нехай точка O - центр мас системи, що складається з перших k матеріальних точок даної системи. Тоді центр мас даної системи збігається з центром мас системи матеріальних точок
5. Які маси треба помістити в вершини трикутника зі сторонами a. b і c. щоб центр мас отриманої системи матеріальних точок виявився a) в точці перетину медіан; b) в точці перетину биссектрис; з *) в точці перетину висот (ортоцентром); d *) в центрі описаного кола? 6. Нехай M - точка перетину медіан трикутника ABC. Доведіть (використовуючи геометрію мас!), Що для будь-якої точки O на площині виконано рівність OM = # 8531; (OA + OB + OC). 7. У трикутнику ABC проведена медіана AM. точка P - її середина. Пряма BP перетинає сторону AC в точці E. Знайдіть, в якому відношенні точка E ділить AC. 8. Усередині трикутника ABC відзначили точку O. Доведіть, що точка O - центр мас системи (A. S BCO), (B. S ACO), (C. S ABO). 9. Точки, що розбивають кожну зі сторін чотирикутника на три рівні частини, з'єднані природним чином. Доведіть, що a) кожен з отриманих відрізків також розбивається точками перетину на три рівні частини. b *) Площа середнього четиреухгольніка в дев'ять разів менше площі вихідного.
Чевіаной трикутника ABC називається довільний відрізок, що з'єднує його вершину з будь-якої з точок протилежного боку.
10. Доведіть за допомогою мас теорему Ван-Обеля:
Чевіани AA 1. BB 1 і CC 1 трикутника ABC перетинаються в точці K. Доведіть, що