Сфера Рімана - компакт, голоморфна функція - неперервна на цьому компакті, а далі - тривіальна т. Ліувілля.
Ви голоморфні функції з голоморфних формами часом не плутаєте? На сфері Рімана саме що все голоморфні 1-форми дорівнюють нулю, ніяких констант. На еліптичної кривої є форма (якщо її представити як фактор по решітці). На гіпереліптичних кривої (поверхні роду 2), незважаючи на компактність, простір голоморфних 1-форм має розмірність.
Тоді, наприклад, - ненульова голоморфна диференціальна-форма на сфері Рімана.
Це не 1-форма на сфері Рімана, оскільки ви її не задали в околиці нескінченності; легко перевірити, що якщо спробувати переписати вказане вираз на другий карті, то там буде полюс в нескінченності.
У першій карті форма виглядає як, а в другій буде. Друга форма регулярна в околиці, значить але в координаті цей вислів не регулярно, коли близько до
Чи не могли б Ви, будь ласка, трохи роз'яснити це? Як я розумію: форма регулярна в околиці нуля свого аргументу. тобто при дуже великих. Чому в розкладанні в ряд немає доданків з нульовою і першим ступенем і ряд починається відразу з другого ступеня? Чому якщо близько до нуля, то форма в точці регулярна. Адже при заміні її аргумент так само виходить близький до нуля.
Раз вже ви тут приплітати теорему про непрічесиваніі їжака, чи не простіше сказати, що перші когомологий де Рама сфери дорівнюють нулю, тому будь-яка замкнута форма точна?
Чи не переплутаємо ми так причину із слідством? Адже перша група когомологій де Рама по визначенню і є факторгруппа всіх замкнутих 1-форм за точним. Тобто її рівність нулю випливає з того, що всі замкнуті форми виявляються точними, а не навпаки.
Вибачте, неуважно прочитав. Ви пишіть про нерегулярність вираження для в інших координатах, а не іншої форми. Але мені все одно незрозуміло, як Ви отримали такий ряд для.