Як уже зазначалося, на практиці тільки що розглянутий ознака порівняння застосовують рідко. Справжньою «робочою конячкою» теорії числових рядів є граничний ознака порівняння. за поширеністю застосування з ним може конкурувати хіба що ознака Даламбера.
Граничний ознака порівняння: Розглянемо два позитивних числових ряду і .Якщо межа відносини загальних членів цих рядів дорівнює кінцевому, відмінному від нуля числа. . то обидва ряди сходяться або розходяться одночасно.
1) Якщо мова йде про двох сходяться рядах, то межа може дорівнювати і нулю (але не нескінченно).
2) Якщо мова йде про двох розбіжних рядах, то межа може дорівнювати і нескінченності (але не нулю).
Коли застосовується граничний ознака порівняння? Граничний ознака порівняння застосовується тоді, коли «начинкою» ряду у нас є многочлени. Або один многочлен в знаменнику, або многочлени і в чисельнику і в знаменнику. Один або обидва многочлена також можуть перебувати під коренем.
Відразу розглянемо приклад, для якого не спрацював тільки що розглянутий ознака порівняння.
Приклад 10 Дослідити ряд на збіжність
Порівняємо даний ряд зі збіжним рядом. Використовуємо граничний ознака порівняння. Відомо, що ряд - сходиться. Якщо нам вдасться показати, що дорівнює кінцевому, відмінному від нуля числа, то буде доведено, що ряд - теж сходиться.
Отримано кінцеве, відмінне від нуля число, значить, досліджуваний ряд сходиться разом з рядом. Чому для порівняння був обраний саме ряд. Якби ми вибрали будь-який інший ряд з «обойми» узагальненого гармонічного ряду, то у нас не вийшло б в межі кінцевого, відмінного від нуля числа (можете поекспериментувати).
Примітка: коли ми використовуємо граничний ознака порівняння, не має значення. в якому порядку складати відношення загальних членів, в розглянутому прикладі ставлення можна було скласти навпаки: - це не змінило б суті справи.
Граничний ознака порівняння можна застосувати майже для всіх рядів, які ми розглянули в попередньому пункті:
. . . .
Дані ряди по щойно розглянутої трафаретного схемою потрібно гранично порівняти відповідно зі сходяться рядами:. . . .
Приклад 11 Дослідити ряд на збіжність
Це приклад для самостійного рішення.
Що робити, якщо многочлени знаходяться і в знаменнику, і в чисельнику? Алгоритм рішення майже такий же - нам потрібно підібрати для порівняння відповідний ряд з «обойми» узагальненого гармонічного ряду.
Приклад 12 Дослідити ряд на збіжність
Ми бачимо, що і в чисельнику і в знаменнику у нас многочлени, причому, в знаменнику поліном знаходиться під коренем. Підбираємо ряд для порівняння.
1) Спочатку потрібно знайти старшу ступінь знаменника. Якби не було кореня, то, зрозуміло, що старша ступінь знаменника дорівнювала б чотирьом. Що робити, коли є корінь? Про це я вже розповідав на уроці Методи рішення меж. Повторення - мати навчання: подумки або на чернетці відкидаємо всі члени, крім старшого:. Якщо є константа, її теж відкидаємо:. Тепер витягаємо корінь:. Таким чином, старша ступінь знаменника дорівнює двом.
2) З'ясовуємо старшу ступінь чисельника. Очевидно, що вона дорівнює одиниці.
3) З старшого ступеня знаменника віднімаємо старшу ступінь чисельника: 2 - 1 = 1
Т.ч. наш ряд потрібно порівняти з рядом. тобто, з розбіжним гармонійним рядом. У міру накопичення досвіду вирішення ці три пункти можна і потрібно проводити подумки.
Саме оформлення рішення повинно виглядати приблизно так: "
Порівняємо даний ряд з розбіжним гармонійним рядом. Використовуємо граничний ознака порівняння:
Отримано кінцеве, відмінне від нуля число, значить, досліджуваний ряд розходиться разом з гармонійним рядом.
(1) Складаємо відношення загальних членів.
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу.
(3) Відкриваємо в чисельнику дужки.
(4) Невизначеність усуваємо стандартним способом ділення чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.
(5) В самій нижній частині готуємо для внесення під корінь:
(6) У знаменнику організуємо спільне коріння.
Примітка: на практиці пункти 5,6 можна пропустити, я їх дуже докладно розжував для тих, хто не дуже розуміє, як поводитися з корінням.
(7) Почленно ділимо числители на знаменники. Помічаємо члени, які прагнуть до нуля.
Приклад 13 Дослідити ряд на збіжність
Це приклад для самостійного рішення.
У міру накопичення досвіду вирішення прикладів, ви будете відразу бачити, сходиться такий ряд або розходиться. Наприклад, розглянемо ряд. Ага, 3 - 1 = 2, отже, ряд потрібно порівняти зі збіжним рядом. і відразу можна сказати, що наш досліджуваний ряд теж сходиться. Справа за малим - залишилося акуратно оформити стандартне рутинне рішення. Ось, мабуть, і все початкові відомості про позитивні числових рядах, які будуть потрібні вам при вирішенні практичних прикладів. Наступний урок по темі числових рядів - Ознаки збіжності рядів. Ознака Даламбера. ознаки Коші
Рішення і відповіді:
Приклад 2:
Примітка: зверніть увагу, що переменная- «лічильник» в даному прикладі «заряджається» зі значення
Приклад 7:
Ділимо чисельник і знаменник на
Досліджуваний ряд розходиться. так як не виконано необхідна ознака збіжності ряду.
Приклад 9: Порівняємо даний ряд з розбіжним гармонійним рядом.
Використовуємо ознака порівняння:
Якщо. то
Якщо. то
Якщо. то
Таким чином, для всіх членів ряду виконано нерівність. значить, за ознакою порівняння досліджуваний ряд розходиться разом з гармонійним рядом.
Примітка: І тут є неформальний сенс. Доведено, що гармонійний ряд розходиться, отже, сума його членів:. Ми показали, що члени ряду ще більше членів ряду. і абсолютно зрозуміло, що сума ряду не може бути менше нескінченності.
Приклад 11: Порівняємо даний ряд з розбіжним поруч. Використовуємо граничний ознака порівняння:
Отримано кінцеве, відмінне від нуля число, значить, досліджуваний ряд розходиться разом з рядом.
Приклад 13: Ці 3 пункту виконуємо подумки або на чернетці:
1) Старша ступінь знаменника: 4
2) Старша ступінь чисельника: 1
3) 4 - 1 = 3
Порівняємо даний ряд зі збіжним рядом. Використовуємо граничний ознака порівняння:
Отримано кінцеве число, відмінне від нуля, отже, досліджуваний ряд сходиться разом з низкою