SVD- (сингулярне) розкладання
Найбільш ефективними (але і ресурсоємними) засобами вирішення довільних СЛАУ (з матрицею А розміру NxM) за методом найменших квадратів є так звані повні ортогональні розкладання, що мають, за визначенням, вид A = UKV T.
Тут U і V - ортогональні матриці розміром NxN і MхM відповідно, а k - матриця розміру NxM. має наступну структуру:
Причому w - матриця розміру kxk. де k - ранг вихідної матриці А.
Найвідоміше з ортогональних, SVD- (singular value decomposition) або сингулярне розкладання - розкладання виду A = USV T. де S - діагональна матриця, що складається з нулів і розташованих на діагоналі сингулярних чисел матриці А. Розрахунок сингулярного розкладання в Mathcad здійснюється за допомогою пари вбудованих функцій:
- svds (A) - вектор, що складається з сингулярних чисел;
- svd (A) - сингулярне розкладання:
- А - дійсна матриця.
Приклад пошуку сингулярного розкладання сингулярної матриці приведений в лістингу 8.25, причому його останній рядок являє собою перевірку правильності знайденого розкладання. Підкреслимо, що обчислені сингулярні числа знаходяться на головній діагоналі середньої матриці розкладання, а її інші елементи, за визначенням, дорівнюють нулю. Порівнюючи матриці з лістингу 8.25, ви без зусиль розберетеся, яким чином слід виділяти шукані матриці сингулярного розкладання з результату, що поставляється функцією svd.
Лістинг 8.25. Сингулярне розкладання сингулярної матриці:
- Знаходження єдиного рішення допоміжної СЛАР: Wy = U T b (перші два елементи вектора у в другому рядку лістингу 8.26, яка враховує діагональні матриці S).
- Доповнення вектора нульовими елементами до розміру шуканого вектора х.
- Обчислення х простим множенням x = Vy (третій рядок лістингу).
Отриманий результат (шуканий вектор х і проміжний у) виведений в кінці лістингу 8.26. Як ви можете переконатися, він збігається з відповіддю, отриманою в лістингу 8.24 (див. Попередній розд.) За допомогою QR-розкладання.
Лістинг 8.26. Рішення вироджених СЛАР за допомогою сингулярного розкладання (продовження лістингу 8.25):