Індикатор. або характеристична функція. або індикаторна функція підмножини - це функція. визначена на множині, яка вказує на приналежність елемента підмножині.
Термін характеристична функція вже зайнятий в теорії ймовірностей. З цієї причини, майже виключно одні вероятностнікі використовують термін індикаторна функція для обумовленою тут функції, в той час як математикам з інших областей для опису приналежності елементів безлічі більше подобається використовувати термін характеристична функція.
визначення Правити
Нехай - вбрання підмножина довільної множини. Функція, певна в такий спосіб:
називається індикатором множини.
Альтернативними позначеннями індикатора безлічі є: або, а іноді навіть. Дужка Іверсона дозволяє позначення.
(Грецька літера походить від початкової букви грецького написання слова характеристика.)
Попередження. Позначення може означати функцію ідентичності.
Основні властивості Правити
Відображення, яке пов'язує підмножину з його індикатором ін'єкційних. Якщо і - два підмножини, то
Більш загально, припустимо - це набір підмножин. Ясно, що для будь-якого
- твір нулів і одиниць. Цей твір приймає значення 1 точно для тих, які не належать жодному безлічі і 0 інакше. Тому
Розгортаючи ліву частину, отримуємо
де - потужність. Це одна з форм принципу включення-виключення. Цей приклад показує, що індикатор - корисне позначення в комбінаториці. яке використовується також і в інших областях, наприклад в теорії ймовірностей. якщо - імовірнісний простір з ймовірнісної мірою, а - вимірна множина. то індикатор стає випадковою величиною. чиє математичне сподівання дорівнює ймовірності
Це тотожність використовується в простих доказах нерівності Маркова.