МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ 5.
ОТРИМАННЯ Рівняння ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ
ПО передавальної функції.
МЕТА. Навчитися визначати рівняння перехідного процесу по зображенню регульованого параметра по Лапласа.
Побудова перехідного процесу є завершальним етапом дослідження автоматичної системи. За отриманим графіком перехідного процесу при одиничному впливі можна наочно визначити основні показники якості регулювання - час регулювання, перерегулювання, усталену помилку.
Нехай нам відомі:
Wy (p) - передавальна функція системи по управлінню;
Wf (p) - передавальна функція системи по обуренню;
U (p) - керуючий сигнал;
f (p) - збурює сигнал.
Тоді зображення по Лапласа регульованого параметра буде:
Спочатку розглянемо випадок, коли на систему діє керуючий сигнал U (p), а рівноваги вплив f (p) = 0:
Таким чином для отримання зображення по Лапласа регульованої координати необхідно передавальну функцію (ПФ) помножити на зображення по Лапласа вхідного впливу.
Згідно таблиці 1 завдання 4 для вхідного впливу у вигляді одиночного імпульсу U (t) = 1 '(t) зображення U (p) = 1, для вхідного впливу у вигляді одиничного стрибка U (t) = 1 (t) зображення U (p ) =.
Розглянемо кілька прикладів отримання рівняння перехідного процесу по відомою передавальної функції.
ПРИКЛАД 1. Вхідний вплив - одиничний імпульс U (t) = 1 '(t).
Визначити рівняння вагової функції.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра x (p), враховуючи, що U (p) = 1.
2. Визначаємо коріння характеристичного рівняння.
3. Перетворимо вираз x (p) відповідно до формули №8 табл.1 (завдання 4).
4. Визначаємо рівняння вагової функції за формулою №8.
ПРИКЛАД 2. Дана наступна ПФ:
Визначити рівняння вагової функції.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра.
2. Коріння характеристичного рівняння.
3. Перетворимо вираз x (p) відповідно до формул №8 і №9.
4. Визначаємо рівняння вагової функції за формулами №8 і №9.
x (p) = 3 * e -2t * sin (3t) + e -2t * cos (3t).
ПРИКЛАД 3. Визначити рівняння перехідної функції по сле
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра, враховуючи, що U (p) =.
2. Коріння характеристичного рівняння.
3. Перетворимо зображення x (p) відповідно до формули №20.
4. Визначаємо рівняння вагової функції за формулою №20.
Таким чином для побудови будь-якого перехідного процесу (ваговий або перехідною функцій) необхідно перш за все визначити коріння зображеного по Лапласа регульованого параметра. Це зробити складно, якщо знаменник є поліномом вище третього порядку.
ВИЗНАЧЕННЯ КОРЕНІВ МЕТОДОМ НАБЛИЖЕННЯ.
Розглянемо цей метод на конкретному прикладі.
ПРИКЛАД 4. Визначити коріння в наступному характеристичний рівнянні:
L (p) = p 4 + 7.04p 3 + 6.842p 2 + 3.7104p + 0.5904 = 0
У першому наближенні один з коренів можна визначити за двома останніми членам цього рівняння.
3.7104p + 0.5904 = 0 p1 = - = -0.1591.
Якби цей корінь був би обчислений точно, то дане рівняння розділилося б на (p + 0.1591) без залишку. Насправді отримуємо:
-_p 4 + 7.04p 3 + 6.842p 2 + 3.7104p + 0.5904 | p + 0.1591 _________.
p 4 + 0.1591p 3 p 3 + 6.8809p 2 + 5.748p
_6.8809p 3 + 6.842p 2
6.8809p 3 + 1.094p 2
_5.748p 2 + 3.7104p
За отриманим залишку 2.7959p + 0.5904 визначаємо корінь у другому наближенні.
Знову ділимо рівняння на p + 0.211 і отримуємо залишок 2.570p + 0.5904. Тоді корінь в третьому наближенні p3 = -0.2297. Рівняння знову ділимо на p + 0.2297 і т.д. Нарешті, корінь в дев'ятому наближенні p9 = -0.24, а частка від ділення
p 3 + 6.8p 2 + 5.21p + 2.46 = 0.
За двома останніми членам цього рівняння знову визначаємо коріння в першому наближенні
Після поділу рівняння на p + 0.472 залишок 2.223p + 2.46 і корінь у другому наближенні дорівнює p2 = -1.1066. Корінь в третьому наближенні p3 = + 2.256. Процес розходиться. Корінь не може бути позитивний в стійкою САУ.
Тоді за трьома (а не по двом) останнім членам цього рівняння визначаємо відразу два комплексних кореня характеристичного рівняння.
Залишок в першому наближенні 6.033p 2 + 4.848p + 8.46.
Залишок у другому наближенні 5.996p 2 + 4.802p + 2.46.
Залишок в третьому наближенні 6.00p 2 + 4.80p + 3.46, який незначно відрізняється від залишку в другому наближенні і по ньому визначаємо значення комплексних коренів.
Частка від ділення на залишок в третьому наближенні
0.210p + 2.46 = 0, тоді p4 = -6.0.
Примітка. Коріння кубічного рівняння p 3 + 6.8p 2 + 5.21p + 2.46 можна визначити методом Карно. Для цього представимо його у вигляді
і шляхом підстановки p = приводимо до ²неполному² увазі.
Коріння y1, y2, y3 ²неполного² кубічного рівняння рівні:
Визначимо чисельні значення коренів ²неполного² кубічного рівняння.
Визначаємо коріння даного характеристичного рівняння третього порядку.
p1 = y1 - = -3.734- = -6.0 p3,4 = 1.867 ± j0.4996- = -0.4 ± j0.5.
Результати обчислення коренів рівняння третього ступеня методом наближення і методом Карно - співпали.
Проведемо перевірку правильності визначення коренів рівняння по теоремі Вієта.
-c = -2.46 = -6.0 * (0.4 2 +0.5 2) = -2.46
РОЗКЛАДАННЯ ЗОБРАЖЕННЯ РЕГУЛЬОВАНОГО
ПАРАМЕТРАНА СУМУ ПРОСТИХ ДРОБІВ.
Визначення рівняння перехідного процесу x (t) по зображенню регульованого параметра в разі, коли знаменник має ²n² коренів можна виконати шляхом розкладання зображення на прості дроби, за якими потім отримати пряме перетворення Лапласа, згідно табл.1 завдання 4.
де ci - коефіцієнт розкладання;
pi - корінь рівняння.
Коефіцієнт розкладання ci в залежності від виду коренів рівняння визначається наступним чином.
1 ВИПАДОК. Все коріння дійсні і різні.
Тоді рівняння перехідного процесу
2 ВИПАДОК. Серед ²n² дійсних коренів є корінь p = 0.
Тоді рівняння перехідного процесу
3 ВИПАДОК. Серед ²n² дійсних коренів є ²m² пар комплексно-сполучених.
Для кожної пари комплексно-сполучених коренів p1,2 = -a ± jb визначається два значення коефіцієнтів c:
які є теж комплексно-сполученими виразами c1,2 = a ± jb.
В цьому випадку визначається модуль | c | і кут j.
За табл.1 (завдання 4) кожній парі комплексно-сполучених коренів відповідає перехідний процес
x (p) = 2 * | c | * e - a t * cos (bt + j).
У загальному випадку при наявності в характеристичний рівнянні одного нульового кореня, ²k² - дійсних коренів і ²m² - комплексно-сполучених перехідний процес описується рівнянням:
Примітка. 4-й випадок, коли в рівнянні є кратні речові коріння в цьому завданні не розглядаються.
Розглянемо кілька прикладів такого способу отримання рівнянь перехідного процесу.
ПРИКЛАД 5. Одиничний імпульс поданий на систему з передавальної функцією
Визначити рівняння вагової функції.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра, враховуючи, що U (t) = 1 '(t), тоді U (p) = 1.
2. Визначаємо коріння характеристичного рівняння.
3. Розкладемо отримане зображення x (p) на прості дроби.
4. Коефіцієнти закладення ci будемо визначати згідно 1-му випадку (всі корені речові і різні).
Примітка. При нульових початкових умовах алгебраїчна сума отриманих коефіцієнтів розкладання повинна дорівнювати нулю.
5. Зображення регульованого параметра.
6. Рівняння ваговій функції згідно з формулою 5 табл.1 (завдання 4).
x (t) = -0.1666 * e -t + 1 * e -2t -0.8334 * e -4t.
ПРИКЛАД 6. На систему з передавальної функцією прикладу 5 подано одиничне поетапне вплив. Визначити рівняння перехідної функції.
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра.
2. Визначаємо коріння характеристичного рівняння.
3. Розкладемо отримане вираз x (p) на прості дроби.
4. Коефіцієнти розкладання ci будемо визначати згідно 2-му випадку (серед речових коренів є один нульовий корінь).
5. Зображення регульованого параметра.
6. Рівняння ваговій функції відповідно до формул №3 і №5 табл.1 (завдання 4).
x (t) = 0.125 + 0.1666 * e -t -0.5 * e -2t -0.2084 * e -4t.
Примітка. З огляду на, що похідна по рівнянню перехідної функції дає рівняння вагової функції, порівняємо отримані рішення в прикладі №6 з рішення в прикладі №5.
x '(t) = 0 + (- 1) * 0.1666 * e -t - (- 2) * 0.5 * e -2t + (- 4) * 0.2084 * e -4t =
= -0.1666 * e -t + e -2t -0.8336 * e -4t.
ПРИКЛАД 7. Визначити рівняння перехідної функції, якщо ПФ має вигляд:
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра, враховуючи, що u (p) =.
2. Визначаємо коріння характеристичного рівняння.
3. Розкладемо отримане зображення x (p) на прості дроби.
4. Коефіцієнти розкладання ci будемо визначати згідно 3-му випадку (серед ²n² дійсних коренів є комплексно-зв'язані).
Для зведення в квадрат комплексного числа (-3 + j4) представимо його в показовою формі.
Отримане комплексне число в показовою формі представимо в алгебраїчній формі.
ПРИМІТКА. Зведення в квадрат можна зробити і без подання його в показовою формі:
(A + jb) 3 = (a 3 -3ab 2) + j (3a 2 b-b 3).
(-3 + j4) 2 = ((- 3) 2 -4 2) +2 * (- 3) * j4 = -7-j24.
Продовжуємо визначати c1 (p2).
=
Так як третій корінь p3 = -3-j4 комплексно-зв'язаний з другим p2 = -3 + j4, то значення c2 (p3) буде відрізнятися від c1 (p2) тільки знаком ступеня e.
Визначаємо значення c3 (p4 = -2).
5. Зображення по Лапласу регульованого параметра у вигляді простих дробів з урахуванням отриманих значень c0, c1, c2, c3.
6. Рівняння перехідної функції отримуємо шляхом проведення зворотного перетворення по Лапласа (див. Табл.1 завдання 4).
x (t) = 10-11.33 * e -2t + 1.877 * e + j111 ° * e (-3 + 4j) * t + 1.877 * e -j111 ° * e (-3-4j) * t =
= 10-11.33 * e -2t + 1.877 * (e + j * (111 ° + 4t) + e -j * (111 ° + 4t)) * e -3t.
Вираз в дужках перетворимо згідно з формулою Ейлера.
(E + j a + e -j a) = 2 * cosa
x (t) = 10-11.33 * e -2t + 1.877 * e -3t * 2 * cos (4t + 111 °) =
= 10-11.33 * e -2t + 3.75 * e -3t * cos (4t-1.204).
Примітка. cos (111 °) = -cos (180 ° -111 °) = -cos (-69 °) = -cos (-1.204), де 1.204 кут в радіанах від j = 69 °.
Перевіримо правильність обчислення коефіцієнтів c.
При t = 0 значення x (t = 0) = 0, тому що початкові умови нульові.
Умови виконуються в межах точності обчислення.
6.Уравненіе перехідної функції.
x (t) = 10-11.33 * e -2t + 3.75 * e -3t * cos (4t-1.204).
ПРИКЛАД 8. Визначити рівняння вагової функції по ПФ прикладу №7:
1. Визначаємо зображення по Лапласа регульованого параметра, враховуючи, що U (p) = 1.
2. Визначаємо коріння характеристичного рівняння.
4. Розкладемо отримане зображення x (p) на прості дроби.
5. Визначаємо коефіцієнти розкладання c.
5. Уявімо зображення по Лапласа регульованого параметра у вигляді простих дробів з урахуванням отриманих значень c1, c2, c3.
6. Рівняння ваговій функції отримуємо шляхом проведення зворотного перетворення по Лапласа.
x (t) = 22.66 * e -2t + 7.45 * e -j * 137 ° 54 '* e (-3-j4) * t + 7.45 * e j * 137 ° 94' * e (3 + j4) * t =
= 22.66 * e -2t + 7.45 + 7.45 * e -3t * (e j * (- 137 ° 54 '+ 4t) + e -j * (- 137 ° 54' + 4t)) =
= 22.66 * e -2t + 14.9 * e -3t * cos (4t-2.4),
де 2.4 кут в радіанах від j = -137 ° 54 '.
2. ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ.
Визначити рівняння перехідного процесу по заданій П.Ф.
Значення коефіцієнтів k і Тi показано в таблиці 1.
Таблиця 1 - Значення коефіцієнтів k і Т для завдання 5.
3. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ
1. Записати передатну функцію, вид керуючого впливу відповідно до варіанту завдання.
2. Визначається регульований параметр в зображенні по Лапласа.
3. Визначити коріння.
4. Розкласти зображення по Лапласа регульованої величини на найпростіші дроби.
5. Визначити коефіцієнти розкладання C.
6. Перетворити найпростіші дробу з комплексними коренями до виду, зручного для проведення зворотного перетворення по Лапласа по першому і другому варіанту.
7. Отримати рівняння перехідного процесу при нульових початкових умовах.
4. змісту ЗВІТУ з виконання робіт.
У звіті повинно бути показано:
2. Форма впливу.
3. Початкові умови.
4. Зображення по Лапласу регульованого параметра.
5. Визначення коренів.
6. Подання регульованого параметра через прості дроби.
7. Обчислення коефіцієнтів розкладання.
8. Рівняння перехідного процесу.
5. Контрольні питання
1. Як виглядає зображення по Лапласа регульованого параметра при імпульсному впливі, якщо u (t) = 4.
2. Як виглядає зображення по Лапласа регульованого параметра при стрибкоподібному впливі, якщо u (t) = 4 (t).
3. Як визначається зображення по Лапласа регульованого параметра, якщо u '(t) = 4t.
4. Який вигляд має перехідний процес при стрибкоподібному впливі, якщо коріння речові негативні.
5. Який вигляд має перехідний процес, якщо коріння чисто уявні.
6. Який вигляд має перехідний процес, якщо коріння комплексні.
7. Який вигляд має перехідний процес, якщо коріння речові позитивні.
8. Як у першому наближенні можна визначити коріння характеристичного рівняння.
9. Як у другому наближенні можна визначити коріння характеристичного рівняння.
10. Що робити, якщо при визначенні коренів процес розходиться.
11. Як визначаються коефіцієнти розкладання, якщо коріння речові і різні.
12. Як визначаються коефіцієнти розкладання, якщо є один корінь рівний нулю.
13. Як визначаються коефіцієнти розкладання, якщо коріння комплексні.
14. Як перевірити правильність отримання коефіцієнтів розкладання.
15. Як отримати рівняння перехідного процесу при одночасному впливі керуючого і обурює сигналів.