Інтеграл виду де n- натуральне число.
За допомогою підстановки функція раціоналізуються.
Якщо до складу ірраціональної функції входять коріння різних ступенів. то в якості нової змінної раціонально взяти корінь ступеня, що дорівнює найменшого спільного кратного ступенів коренів, що входять у вираз.
Інтегрування біномінальної диференціалів.
Опр. Біномінальної диференціалом називається вираз
x m (a + bx n) p dx
де m, n, і p - раціональні числа.
Як було доведено академіком Чебишева П.Л. (1821-1894), інтеграл від біномного диференціала може бути виражений через елементарні функції лише в наступних трьох випадках:
1) Якщо р - ціле число, то інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки. де l- спільний знаменник m і n.
2) Якщо - ціле число, то інтеграл раціоналізується підстановкою
. де s - знаменник числа р.
3) Якщо - ціле число, то використовується підстановка. де s - знаменник числа р.
За допомогою замін інтеграл приводиться до одного з трьох типів:
які обчислюються наступним чином.
1 спосіб. Тригонометрична підстановка.
Теорема. Інтеграл виду підстановкою або
зводиться до інтеграла від раціональної функції щодо sintілі cost.
Теорема. Інтеграл виду підстановкою або зводиться до інтеграла від раціональної функції щодо sintі cost.
Теорема. Інтеграл виду підстановкою або зводиться до інтеграла від раціональної функції щодо sintілі cost.
2 спосіб. Підстановки Ейлера.
1) Якщо а> 0, то інтеграл виду раціоналізуються підстановкою.
2) Якщо a<0 и c>0, то інтеграл виду раціоналізуються підстановкою.
3) Якщо a<0. а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x– x1 )(x– x2 ), то интеграл вида рационализируется подстановкой .
3 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.
Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:
де P (x) - многочлен, n- натуральне число.
Інтеграли II і IIIтіпов можуть бути легко приведені до вигляду інтеграла Iтіпа.
Далі робиться наступне перетворення:
в цьому виразі Q (x) - деякий многочлен, ступінь якого нижче ступеня многочлена P (x), а l- деяка постійна величина.
Для знаходження невизначених коефіцієнтів многочлена Q (x), ступінь якого нижче ступеня многочлена P (x), диференціюють обидві частини отриманого виразу, потім множать на і, порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, визначають lі коефіцієнти многочлена Q (x).
Даний метод вигідно застосовувати, якщо ступінь багаточлена Р (х) більше одиниці. В іншому випадку можна успішно використовувати методи інтегрування раціональних дробів, розглянуті вище, тому що лінійна функція є похідною подкоренного вираження.