Нехай підінтегральний вираз є раціональна дріб де і - поліноми (многочлени) ступенів k і n відповідно. Не применшуючи спільності, можемо вважати, що k приклади Також рекомендується ознайомитися з можливістю вирішення інтегралів онлайн.
а інтеграл від полінома R (x) ми обчислювати вміємо. Покажемо на прикладі, як можна отримати розкладання (1.1). нехай
P (x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 - 3x3 + 4x2 + x -2, Q (x) = x 3 + 3x 2 + x-2. Розділимо поліном P (x) на поліном Q (x) так само, як ми ділимо речові числа (рішення отримуємо через калькулятор ділення стовпчиком). маємо
Таким чином, ми отримали цілу частину дробу (частка від ділення полінома P на поліном Q) R (x) = x 4 + 2x 2 - 4x + 7 та залишок S (x) = 9x 2 - 14x +12 від цього поділу.
За основною теоремою алгебри [6] будь поліном може бути розкладений на найпростіші множники, тобто представлений у вигляді, де - корені полінома Q (x) повторені стільки раз, яка їх кратність.
Нехай поліном Q (x) має n різних коренів. Тоді правильна раціональна дріб може бути представлена у вигляді, де - числа підлягають визначенню. Якщо - корінь кратності # 945 ;, то йому в розкладанні на найпростіші дроби відповідає # 945; доданків. Якщо xj - комплексний корінь кратності полінома з дійсними коефіцієнтами, то комплексно поєднане число - теж корінь кратності # 945; цього полінома. Щоб не мати справу з комплексними числами при інтегруванні раціональних дробів, складові в розкладанні правильної раціональної дробу, відповідні парам комплексно сполучених коренів, об'єднують і записують одним доданком виду, якщо - коріння кратності один. Якщо - коріння кратності, то їм відповідає доданків і відповідне розкладання має вигляд
Таким чином, інтегрування правильних раціональних дробів звелося до інтегрування найпростіших дробів, з яких є табличними, може бути знайдений по рекуррентной формулою, яка виходить інтегруванням по частинам. Інтеграли, в разі, коли знаменник має комплексні корені (дискриминант), зводяться, за допомогою виділення повного квадрата, до интегралам, заміною.
Одним із способів знаходження коефіцієнтів Aj. Mj. Nj в розкладанні правильної раціональної дробу є наступний. Праву частину отриманого розкладу з невизначеними коефіцієнтами Aj. Mj. Nj призводять до спільного знаменника. Так як знаменники правої і лівої частин рівні, то повинні бути рівні і числители, які є поліномами. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x (так як поліноми рівні, якщо рівні коефіцієнти при однакових ступенях x), отримуємо систему лінійних рівнянь для визначення цих коефіцієнтів.
1. Знайти.
Коріння знаменника - x1 = -2 кратності 1 і x2 = 1 кратності 2. Тому x 3 - 3x + 2 = (x + 2) (x1) 2 і підінтегральна функція може бути представлена у вигляді
Наводячи до спільного знаменника, отримуємо
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x в чисельнику правої і лівої частин останнього співвідношення, отримуємо
Вирішуючи цю систему, знаходимо.
Таким чином,
2. Знайти.
Коріння знаменника - x1 = 2 кратності 1 і два комплексних кореня x2,3, = -1 ± i. Тому x 3 - 2x - 4 = (x-2) (x 2 + 2x + 2) і підінтегральна функція може бути представлена у вигляді
Наводячи до спільного знаменника, отримуємо
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x в чисельнику правої і лівої частин останнього співвідношення, отримуємо
Вирішуючи цю систему, знаходимо A = 1, M = 1, N = 2.
Таким чином,