Істинне значення вимірюваної величини

Наведені вище дані показують, що, строго кажучи, вимірювання абсолютно точно істинного значення будь-якої величини неможливо в принципі. Тому більш коректний спосіб представлення результату будь-якого вимірювання полягає в тому, що експериментатор вказує свою найкращу оцінку вимірюваної величини, а також інтервал, в якому, як він упевнений, вона лежить. Таким чином, завдання експериментатора полягає в тому, щоб зменшити вплив похибок за рахунок правильної техніки вимірювань, зробити правильну найкращу оцінку результату вимірювання і величини похибки цього результату.

Розглянемо випадок, коли систематичні помилки відсутні, а мають місце лише випадкові похибки. Припустимо, що нами зроблено n вимірювань деякої величини х, при цьому отримані n значень цієї величини х1 х2 хi ... .хn. Округлимо ці величини з урахуванням приладової помилки і розташуємо в порядку зростання. Визначимо в отриманому безлічі значень кількість повторів (випадінь) окремих результатів - # 8710; ni і обчислимо ймовірності їх випадання за формулою:

Отримані результати також внесемо в таблицю і побудуємо на їх основі графік (рис.1) залежно ймовірності повторів окремих результатів вимірювання від їх величини - хi. тобто функцію.

З отриманого рис.1 видно, що найбільш імовірним є певний результат хi = хв. якому відповідає максимальне значення ймовірності випадання Pmax.

Якщо цей результат (хв) прийняти за істинний. то абсолютну помилку кожного вимірювання # 8710; хi. можна знайти з виразу: # 8710; хi = хi - хв і більше того істинний результат вимірювання, очевидно, повинен відповідати умові:

У цьому можна переконатися, розрахувавши абсолютні помилки всіх вимірювань, числа повторів кожної помилки # 8710; n0 і ймовірності випадання помилок

Потім побудуємо залежність ймовірності випадання результатів вимірювань P від ​​(хi -z) для трьох значень z (zxв). На малюнку 2 представлена ​​ця залежність, яка представляє собою ту ж саму залежність P, що на рис.1. (І отримана з тих же результатів), але зрушена на величину z вліво по осі абсцис. Ясно, що P має максимум при z = xв в нулі, а при інших значеннях z максимум відрізняється від нуля.

Тоді. якщо розглянути функцію

де xi - результат i-го вимірювання, n - число вимірювань, то про її властивості можна сказати наступне. Функція y (x) завжди позитивна, так як є сумою квадратів. Вона має мінімум при x = xв. що випливає з даних представлених на рис.2. Якісно функція y (x) зображено на малюнку 3.

Відомо, що для знаходження екстремуму функції необхідно прирівняти нулю її похідну. Візьмемо похідну від функції (4) і прирівняємо її нулю.

Таким чином, істинне значення найближче знаходиться до найбільш вірогідного значення xв. що дорівнює середньому арифметичному. отримується від декількох ідентичних вимірювань.