Багато людей вважають, що математика - це лише процес обчислення, формули і більше нічого. Якби їм сказали, що це не так, вони б здивувалися і, швидше за все, не повірили б. А адже це саме так. Математика - це ще й своєрідний тип мислення і сприйняття навколишнього. Прикладом, який ілюструє це твердження, є той цікавий факт, що логічні завдання, які стосуються математичним, краще вирішуються школярем, ніж студентом, а найскладніше вони даються професорам і академікам. Більш того, доведено, що школяр, який сидить десь на «Камчатці» буде більш успішним у вирішенні такого роду завдань, ніж який-небудь відмінник, тому що йому постійно доводиться шукати «способи виживання» в тому чи іншому випадку. Саме тому я б хотіла надати і розглянути різні логічні задачі. Мої цілі та завдання - це систематизація типів завдань і виділення основних способів їх вирішення. Також я хочу довести, що основні способи рішення не засновані на методах обчислення. Актуальність обраної теми підтверджується простим прикладом:
Навіть діти в дитячих садах часто бігають і запитують один в одного: що важче - кілограм пуху або кілограм заліза? До того ж, можу сказати, що існує така гра, як «Ситуації» (хтось її знає як «Данетки», «Слідчий» або «Детектив») основне завдання в якій скласти пропущену послідовність дій і пояснити ту чи іншу подію, яка заснована саме на математичному способі мислення. Давайте спочатку розглянемо, звідки ж взялися ці завдання.
Математика є наукою, в якій всі твердження доводяться за допомогою умовиводів, тобто шляхом використання законів людського мислення. Вивчення законів людського мислення є предметом логіки.
Як самостійна наука логіка оформилася в працях грецького філософа Аристотеля (384-322 р. До н.е..). Він систематизував відомі до нього відомості, і ця система стала згодом називатися формальної, або Аристотелевой логікою.
Формальна логіка проіснувала без серйозних змін понад двадцять століть. Природно, що розвиток математики виявило недостатність Арістотелевої логіки і зажадало подальшого її розвитку.
Вперше в історії ідеї про побудову логіки на математичній основі були висловлені німецьким математиком Г. Лейбніцем (1646-1716) в кінці XVII століття. Він вважав, що основні поняття логіки повинні бути позначені символами, які з'єднуються за особливими правилами. Це дозволить всяке міркування замінити обчисленням.
«Ми вживаємо знаки не тільки для того, щоб передати наші думки іншим особам, але і для того, щоб полегшити сам процес нашого мислення» (Лейбніц).
Перша реалізація ідеї Лейбніца належить англійському вченому Д. Булю (1815-1864). Він створив алгебру, в якій буквами позначені висловлювання, і це призвело до алгебри висловлювань. Введення символічних позначень в логіку мало для цієї науки таке ж вирішальне значення, як введення літерних позначень для математики. Саме завдяки введенню символів в логіку була отримана основа для створення нової науки - математичної логіки.
Застосування математики до логіки дозволило представити логічні теорії в новій зручній формі і застосувати обчислювальний апарат до вирішення завдань, малодоступних людського мислення, і це, звичайно, розширило область логічних досліджень. До кінця XIX століття актуальне значення для математики набули питання обгрунтування її основних понять та ідей. Ці завдання мали логічну природу і, природно, призвели до подальшого розвитку математичної логіки.
Особливості математичного мислення пояснюються особливостями математичних абстракцій і різноманіттям їх взаємозв'язків. Вони відображаються в логічній систематизації математики, в доказі математичних теорем. У зв'язку з цим сучасну математичну логіку визначають як розділ математики, присвячений вивченню математичних доказів і питань основ математики.
2. Типи логічних задач.
Існує безліч різних логічних завдань. В ході знайомства з ними, я виділила кілька основних типів завдань:
1. «Правдиві завдання» В цих завданнях потрібно визначити, який вираз істина. Такі завдання можуть мати різну форму, але в них є одна загальна частина. В умова буде сказано, що є людина, що говорить завжди правду, і його антагоніст, говорить завжди неправду. Існують також завдання і з трьома персонажами, додається людина, що говорить з нагоди, або правду, або неправду без будь-якої послідовності у відповідях.
Прикладом такого завдання є:
Відомо, що на одних дверей напис істина, а на інший брехня.
Якщо напис на перших дверей - "за цими дверима є подарунок", а на других дверей - "подарунок за обома дверима", то:
1) подарунок за обома дверима;
2) подарунок тільки за другими дверима;
3) подарунка немає ні за одними дверима;
4) подарунок тільки за першими дверима;
5) визначено місце подарунка встановити не можна.
Як вирішувати такі типи завдань я поясню в наступному параграфі.
2. Завдання на послідовності. У цих завданнях може бути дан якийсь шифр, розгадавши який, ви зможете відповісти на питання завдання.
Прикладом такого типу завдань служить:
Учень написав на дошці всі числа від 1 до 60 таким чином, що 1235960, а потім стер 100 з цих чисел таким чином, що з решти цифр вийшло нове найбільше число з можливих. Що це за число?
3. Завдання на обчислення співвідношення. Ці завдання досить популярні серед укладачів задачников і навіть вчених. Найвідоміша з таких завдань називається загадкою Ейнштейна.
4. Ну і останній тип, на якому я хотіла б зупинитися, це завдання про різні судинах, за допомогою яких необхідно відміряти певну кількість рідини.
3. Методи вирішення логічних завдань.
Я виділила 4 методу вирішення логічних завдань.
1. Першим способом, про який я розповім, вирішуються найпростіші завдання, але в той же час на ньому грунтуються інші. Це метод міркування. Ідея цього методу - послідовність міркувань і висновки їх тверджень, що містяться в умові завдання. Візьмемо перший тип завдання, в якому необхідно визначити правдивість запропонованих тверджень, рішення розглянемо на прикладі, запропонованим мною в описі даного типу. Міркувати в даному випадку треба так:
Розглянемо такий випадок - якщо вираз на другий двері правдиво, то на першій повинно бути помилково, але тоді не виконується умова, що подарунок за обома дверима.
Отже, напис на перших дверей буде правдиво, а на другий помилково.
Тепер уважно прочитаємо умови, переробивши їх у зв'язку зі зробленими висновками. За цими дверима є подарунок - правдиво, за обома дверима є подарунок - брехня. Звідси робимо висновок - подарунок знаходиться тільки за одними дверима - першої.
За допомогою цього методу вирішуються завдання про правду, а також завдання на послідовність.
2. Другий спосіб, який я виділила - це метод таблиці, який дуже зручний при вирішенні задач на співвідношення. Його вигода в наочності логічних роздумів, можливості контролювати ланцюжок міркувань, а також можливість формалізувати деякі нові логічні судження. Розберемо його на такому прикладі:
Три клоуна Бім, Бам і Бом вийшли на арену в червоною, зеленою і синьою сорочках. Їх туфлі були тих же кольорів. У Біма кольору сорочки і туфель збігалися. У Бома ні туфлі, ні сорочка не були червоними. Бам був в зелених туфлях, а в сорочці іншого кольору. Як були одягнені клоуни?
Складемо таблицю, в шпальтах якої відзначимо можливі кольори сорочок і туфель клоунів. Заповнюватимемо таблицю, використовуючи умови задачі.
Так як Бам був в зелених туфлях, то його туфлі не могли бути ніякого іншого кольору і ні у кого іншого не могли бути зелені туфлі, тому в цих полях ставимо хрестики.
Червоний Зелений Синій Червоний Зелений Синій
У Бома ні туфлі, ні сорочка не були червоними, тому в цих полях ставимо хрестики. З нашої таблиці видно, що його туфлі могли бути тільки синіми, ставимо плюс, тоді туфлі Біма могли бути тільки червоними.
Червоний Зелений Синій Червоний Зелений Синій
Тепер розглянемо їх сорочки. Відомо, що у Біма колір сорочки і туфель збігалися, отже, його сорочка була червоною. Так як Бам був в сорочці, відмінною за кольором від його туфель, на нашій таблиці ми бачимо, що вона могла бути тільки синьою, отже, у Бома вона була зеленою.
Червоний Зелений Синій Червоний Зелений Синій
На основі зробленої таблиці можна дати відповідь - Бім був у червоній сорочці і червоних туфлях, Бам - у синій сорочці і зелених туфлях, а Бом в зеленій сорочці і синіх туфлях.
3 метод трохи складніше двох попередніх, він полягає в тому, що вводяться позначення, виводиться логічна формула з умови задачі, а потім вирішується і записується відповідь. Давайте розберемо цей метод на такому прикладі:
Троє друзів обговорювали історію Нового року і кожен сказав наступне:
Опинившись поряд знавець історії сказав, що кожен з них має рацію лише в одному з двох висловлених пропозицій.
К - Карл IX в 1659
Ц - Цезар в 45 році до Різдва Христового
Тепер складемо логічну формулу:
(ФнеЦ + неФЦ) (РнеК + нерки) (неВнеФ + ФВ)
Спростимо отриману формулу, використовуючи розподільний закон:
(ФнеЦ + неФЦ) (РнеК + нерки) (неВнеФ + ФВ) =
(НеВнеФ + ФВ), т. К. ФР = 0, ЦК = 0, то формулу можна переписати у вигляді:
= (НеФЦРнеК + ФнеЦнеРК) (неВнеФ + ФВ) = (неФЦРнеК + ФнеЦнеРК) неВнеФ + (неФЦРнеК + ФнеЦнеРК) ФВ, т. к. ФнеФ = 0, неФнеФ = неф, ФФ = Ф, перепишемо формулу у вигляді: неФЦРнеКнеВ + ФнеЦнеРКВ = (неФЦРнеК + ФнеЦ нерки)
НЕК + ФнеЦ нерки) ФВ, т. к. ФнеФ = 0, неФнеФ = неф, ФФ = Ф, то неФЦРнеКнеВ + ФнеЦнеРКВ, т. к. КВ = 0, запишемо формулу у вигляді:
З отриманої формули слід, що значення істинне тільки при Ц = 1, Р = 1, а К, В, Ф = 0,
4 метод називається методом блок-схем, і він краще підходить для вирішення завдань, в яких необхідно перелити з однієї судини в іншій. Якщо ви коли-небудь складали алгоритми, то вам буде просто зрозуміти цей метод, адже він заснований саме на складанні елементарних алгоритмів. Перевага методу в тому, що він допомагає простежити послідовність виконання операцій, визначити порядок їх виконання і фіксувати стану. Розглянемо його на такому прикладі:
Є дві посудини - трилітровий і п'ятилітровий. Потрібно, користуючись цими судинами, отримати 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 8 літрів води. У нашому розпорядженні водопровідний кран і раковина, куди можна виливати воду.
Перерахуємо всі можливі операції, які можуть бути використані нами, і введемо для них такі скорочені позначення:
НБ - наповнити велику посудину водою з-під крана
НМ - наповнити маленький посудину з-під крана
ОБ - спорожнити велику посудину, виливши воду в раковину
ОМ - спорожнити мала посудина, виливши воду в раковину
Б → М - перелити з великого в маленький, поки велику посудину не спорожніє або маленький посудину і не наповниться
М → Б - перелити з маленького у великій, поки маленький посудину не спорожніє або велику посудину і не наповниться
Серед перерахованих можливих дій нам знадобитися тільки 3 - НБ, Б → М, ОМ.
Крім цих трьох команд розглянемо ще дві допоміжні команди: Б = 0? - подивитися, порожній чи велику посудину; М = З? - подивитися, наповнений чи маленький посудину.
Тепер складемо алгоритм, за допомогою якого ми будемо вирішувати поставлену задачу. Для цього позначимо дії в прямокутниках, послідовність дій стрілками, а питання в ромбики з двома можливими варіантами відповідей. Почнемо виконувати отриману схему і фіксувати всі результати в таблицю.
Колір будинку жовтий синій червоний зелений білий
Тварина кішки коні птиці рибки собаки
Національність Норвежець Датчанин Англієць Німець Швед
На закінчення хочу сказати, що логічні завдання необхідно вирішувати, тому що
1. При вирішенні логічних завдань виробляється звичка нестандартного мислення, який стане в нагоді в різних життєвих ситуаціях.
2. Логічні завдання допомагають навчитися робити послідовні логічні висновки, що призводять до єдино вірного рішення.
3. Основні методи вирішення засновані на систематизації даних і виведення основних висновків на їх основі.
4. Рішення логічних задач передбачає, що людина володіє різноманітними знаннями і вміє звертати увагу на незначні, на перший погляд, дрібниці, без яких рішення буде неправильним.