В математиці системи ітерованих функцій або IFS є метод побудови фракталів, в результаті вийшов результат завжди самоподобен. IFS - фрактали. так вони зазвичай називаються, може містити будь-яке число вимірювань, але, як правило, обчислюється і звертається в 2D. Фрактал складається з об'єднання кількох копій, кожна копія трансформується функцією (звідси "функції системи»).
Канонічним прикладом є килим Серпінського також званий трикутник Серпінського. Функції, як правило, стискають - вони зрушують точки ближче один до одного і роблять форми менше. Таким чином, форма IFS фрактал складається з декількох можливо перекриваються менших копій, кожен з яких також складається з копії, до нескінченності. Це - джерело самоподібності фрактальної природи.
Аттрактор - результат застосування системи ітерованих функцій, не завжди є фракталом, їм може бути або квадрат або інше замкнутий обмежене безліч. Проте, вивчення систем ітерованих функцій важливо для фрактальної теорії, так як з їх допомогою можна отримати дивовижне безліч фракталів. Теорія ітерованих функцій чудова сама по собі і є складовою частиною загальної теорії динамічних систем.
Килим Серпінського створений при використанні IFS (кольоровим виділені самоподібні структури)
Кольоровий IFS - фрактал розроблений з використанням програмного забезпечення Apophysis і Electric Sheep.
Формально ітерованих функції системи - кінцеве безліч стискають відображень в повному метричному просторі. символічно,
є ітерованих системою, якщо кожен з них є скороченням на повний метричний простір.
Хатчінсон показав, що для метрики простору, така система функцій має унікальне компактне (замкнутий і обмежений) фіксоване безліч S. Один із способів побудови фіксованого безлічі, це почати з початкової точки або безлічі S0 і ітерованих дії Fi, беручи Sn +1 як об'єднання образу Sn під Fi, а потім приймає S як замикання Союзу Sn. Символічно, унікальне фіксоване безліч має властивість:
Безліч S, таким чином, фіксоване безліч оператора Хатчінсона
Існування і єдиність S є наслідком принципу стислих відображень а також того факту, що
для будь-якого непорожньої компактного безлічі в. (Для стискає IFS ця схожість має місце навіть для будь-якого непорожньої замкнутого обмеженого безлічі). Випадкові елементи S можуть бути отримані шляхом "гри хаосу" нижче.
Побудова IFS грою хаосу (анімація)
Іноді кожна функція повинна бути лінійною. або в більш загальному афінному перетворенні, тому вона представлена матрицею. Проте, IFS також може бути побудований з нелінійних функції, в тому числі, проектними перетвореннями і перетвореннями Мебіуса. Алгоритм «fractal flame» є прикладом IFS з нелінійними функціями. Найбільш поширений алгоритм обчислення IFS- фракталів називають грою хаосу. Він складається з вибору випадкової точки на площині, итеративного застосування однієї з функцій, вибраних навмання з функцій системи і малювання точки. Альтернативний алгоритм полягає в генерації кожної можливої послідовності функцій до заданої максимальної довжини, а потім побудови результатів застосування кожної з цих послідовностей функцій в початковій точці або формі. Кожен з цих алгоритмів забезпечує глобальну конструкцію, яка генерує точки, розподілені по всьому фракталу. Якщо невелика площа фрактала втягується, багато хто з цих пунктів буде виходити за межі екрану. Це робить масштабування в будівництві IFS зазвичай непрактичним. Хоча теорія IFS вимагає, щоб кожна функція бути стискає, на практиці програмне забезпечення, що реалізує IFS, вимагає, щоб вся система була стискає в середньому.
Діаграма показує будівництво IFS з двох афінних функцій. Функції представляються їх впливом на Бі-одиничний квадрат (функція перетворює контурний квадратик в заштрихованную площа). Поєднання цих двох функцій утворює оператор Хатчінсона. Три ітерації оператора показані, а потім кінцеве зображення має нерухому точку, кінець фрактала. Ранні приклади фракталів, які можуть бути згенеровані IFS, включають безліч Кантора, вперше описаного в 1884 році, і криві де Рама, тип самоподобной кривої, що описується Жоржем де Рама в 1957 році.
Приклад тривимірної IFS - губка Менгера
Переклад. Д. Шахов