Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики

вовторих', над 'уменьшаемим' з'являється якийсь дивний ряд' ціфр' 24031. Пояснюється він так. Коли ми начінаем' дѣйствіе справа і хотім' відняти 8 із '2, то, звичайно, нам' відняти не можна, і ми повинні Кь 2 едініцам' ще зайняти 1 десяток' із '4-х'; От етот' - то одін' зайнятої десяток' і пишеться над 'цифрою едініц' і образует' вмѣстѣ зй ній 12; 8 із '12 = 4, слѣдовательно, простих' едініц' Вь отвѣтѣ 4. Віднімаючи далѣе десятки, ми повинні вважати їхні Вь уменьшаемом' не 4, а 3, так 'как' одін' десяток' раздроблен' Вь простия одиниці; і от, щоб не збитися, Планудес' ставіт' над 'цифрою десятков' 4 нову цифру 3 і продолжает' знаходити отвѣт' також для сотен', тисяч' і десятков' тисяч'. Йзь цього видно, що ряд' ціфр' 24031 представляет' собою виправлені розряди числа, коли Вь ніх' відбулося заніманіе.

У всѣх' разобранних' прімѣрах', починаючи зй Бен'-Музи, виявляється, не дивлячись на видиме разнообразіе подробиць, одін' і тот же основний пріем', і очевидно тот самий, який прімѣняется і Вь нашем' сьогоднішньому способѣ вичітанія. Це не важливо, зй який руки починати дѣйствіе, і гдѣ записувати цифри, котория ми звикли тримати Вь умѣ, але важливо те, как 'виробляти заніманіе, тому що воно составляет' найважче і плутане мѣсто у всем' вичітаніі. У всѣх' прімѣрах', взятих' вище, заніманіе вироблялося нормальним' путем': якщо, напр. едініц' внизу більше, чѣм' вгорі, то береться десяток', прикладається Кь едініцам', і в такий спосіб дѣйствіе стає возможним'. Вь увазі однаковості заніманія, ми относім' всѣ предидущіе прімѣри Кь одному виду, або способу, який ми і називаем' первим' способом' вичітанія.

Щоб пояснити другий способ', берем' прімѣр': 5975-497. Так 'как' 7 із '5 Не віднімається, то отнімаем' 7 із' 15, будет 8. Але, віднімаючи 7 із '15-ти вмѣсто 5-ти, ми етім' Кь зменшуваного прібавляем' лішній десяток'. так 'как' у ньому простих 'едініц' всього лише 5, а ми говорім' 15. Але не будем' займати цього десятка отдѣльно Вь десятках' уменьшаемаго, тому що в такий путем' ми знову прідем' Кь 1-му способу; вмѣсто того, ми отнімаем' етот' зайнятої десяток' од 7 десятков' уменьшаемаго тоді, коли будем' віднімати десятки вичітаемаго, і нам 'вмѣсто 9 доведеться відняти 10 десятков'; так 'как' 10 із '7-ми не вираховується, то треба зайняти сотню; її ми знову-таки не будем' займати отдѣльно і не будем' віднімати прямо од 9 сот' уменьшаемаго, а вичтем' вмѣстѣ зй 4-ма сотнями мужів. Тоді, відняв од 9 сот' 5, получім' 400. Тепер легко зрозуміти, чѣм' відрізняється другий способ' вичітанія од перваго. За другим способом тот десяток' або та сотня, які ми занімаем', що не віднімаються сейчас' ж од десятков' або сотен' умевьшаемаго, а надаються Кь десяткам' або сотням' вичітаемаго, і тоді вже віднімаються вмѣстѣ з ними; слѣдовательно, не цифри уменьшаемаго знижуються на одиницю, а наоборот' цифри вичітаемаго підвищуються на одиницю, якщо тільки, звичайно, із 'соотвѣтетвующаго розряду занімают'. От ще прімѣр': 1236-879. Рѣшеніе: 9 із '16-ти-7, 8 із' 13-ти-5, 9 із '12-ти-3, всього 357. Щоб отмѣтіть, какія цифри вичітаемаго підвищуються, над' ними ставят' точки. Етот' другий способ' дістав початок вже давно, ще з часу М. Планудеса і ранѣе, прімѣняется же он 'тепер іноді під французскіх' школах'. У ньому відят' навіть нѣкоторое зручність, порівняно зй нашім' пріемом', тому що у ньому зайнята одиниця завжди прикладається, а в нас віднімається, прикладати ж взагалі простіше і естественнѣе, чѣм' віднімати, так 'как' і сама аріѳметіка починається зй елементарнаго прікладиванія, т.-е . рахунки по едініцѣ. Але, разумѣется, це вигода досить примарна, і все діло завісіт' од звички: нас' пріучалі зй малих' літ ставити крапку над 'уменьшаемим', а не над' вичітаемим', і це нас' НЕ затрудняет', а навіть здається болѣе легкім'.

Третій способ', запропонований Адамом' Різе, нѣмецкім' педагогом' XVI вѣка, прімикает' Кь першому. Об'яснім' його на прімѣрѣ: 85322-67876. Ведем' вичітаніе зй простих 'едініц'. За звичайному пріему треба б 6 відняти із '12-ти, а ми з цього третього способу вичтем' 6 Не Йзь 12-ти, а із' 10-ти, і етот' 1 десяток' занімаем' у 2 десятков' уменьшаемаго. 6 із '10 составіт' 4, та 2 одиниці Вь уменьшаемом', всього будет 6. Далѣе вичітаем' десятки. Так 'как' 7 не віднімається із 'двух, або вѣрнѣе із' одного, тому що одін' десяток' ми вже зайняли, то треба нам 'зайняти сотню і роздрібнити її Вь десятки; сотня дает' 10 десятков', вичтем' із 'ніх' 7, тоді получім' Вь різниці 3; та ще Вь уменинаемом' 1 десяток', разом накопичиться Вь остаткѣ 4. так 'ж поступаем' і зй іншими розрядами: 10-8 = 2, та 2, всього 4 сотні; 10-7 = 3, та 4 тисячі, всього 7 тисяч'; 10-6 = 4, і 8, всього 12 десятков' тисяч'; але із 'етіх 12 десятков' тисяч' треба виключити 1 сотню тисяч', тому що ми її немовби зайняли, а між тѣм' зайняти щось було не у чого, то ми її тепер і счерківаем' у залишку. Вивод' щодо Третьяго способу виходить слѣдующій. Он 'основан' на отніманіі каждаго розряду вичітаемаго од 10-ти і прібавленіі разрядов' уменьшаемаго, а так' как 'різниця між яким--небудь однозначним' чіслом' і десятьма називається дополненіем' цього числа до 10-ти, то способ' Адама Різе можна ще висловити так': Кь разрядам' уменьшаемаго треба прикладати дополненія разрядов' вичітаемаго до 10-ти. Ще прімѣр':

Рѣшается він так: 4, дополненіе 6-ти до 10-ти, та 1, будет '5; 10, дополненіе нуля до 10-ти, та 8, тому що 1 зайнята, составіт' 18, із 'ніх' 8 пішем', а 1 сотню отбрасиваем', тому що, коли ми брали дополненіе, то для цього нам' необхідно було імѣть сотню, а так 'как' ми ея не посідали Вь уменьшаемом', то і счерківаем' її Вь остаткѣ. Так 'же надходити треба і Вь другіх подобних' случаях', саме коли дополненіе вичітаемаго вмѣстѣ зй разрядом' уменьшаемаго даст' болѣе 10-ти, то десяток' счеркі-ється. Способ' Адама Різе бил знаком' його современнікам', але особаго развітія і распространеіія он 'НЕ дістав. Он 'дуже на-помінает' новий, п'ятий способ', який помѣщаем' нижче.

Четверте правило вичітанія прінадлежіт' арабському вченому Алькальцаді із 'Андалузіі (XV ст.). Щоб, напрімѣр', відняти 287 із '573, треба спершу 7 простих' едініц' відняти із '3-х'. Звичайно, 7 із '3-х' не вираховується, але перш за чѣм' займати десяток', Алькальцаді задається вопросом': чи багато недостает' Кь трьом для того, щоб із 'ніх' можна було відняти сім? Виявляється, недостает' четирех. І от ми занімаем' тепер десяток' із '7 десятков', раздробляем' його Вь одиниці і вичітаем' стільки, скільки не вистачало, т.-е. 4, Вь остаткѣ будет 6. в такий же 'чином Йде вичісленіе і зй десятками, і зй сотнями: 8 із' 6, недостает' двух, вичітаем' 2 із '10-ти, будет 8 десятков'; на-конец', 2 сотні Йзь 4 сотен' дадут' 2 сотні, веего 286.

Зв'язок між способами первим', третьім' і четвертим' ми представім' для ясності ще роз'єм на двузначних' чіслах'. Возьмем' 41-27. За першим способом необхідно 7 віднімати із '11-ти, по третьому 7 віднімається із' десяти, і Кь отриманого додається 1, а по четвертому із '10-ти віднімається недостаток' одиниці супроти 7-ми. Що стосується другого способу, то у ньому, как 'і Вь первом', 7 віднімається із' 11-ти, але за то потом', коли Йде отніманіе десятков', що не 2 десятка віднімається із '3-х', а 3 із '4-х'.

П'ятий і послѣдній способ' сходен' по своїй основної думки з способом' Адама Різе. У ньому додається Кь разрядам' уменьшаемаго дополненіе разрядов' вичітаемаго, при чем' дополненіе береться то до 10-ти, то до 9-ти: до десяти тоді, коли над 'цифрою уменьшаемаго НЕ стоїть точки, яка б показувала, що здѣсь одиниця зайнята, а до 9 -ти тоді, коли стоїть крапка. Прімѣр': 731-264. Щоб зробити це вичітаніе по п'ятому способу, прібавляем' Кь однієї простої едініцѣ уменьшаемаго 6, т дополненіе 4-х 'едініц' вичітаемаго до 10-ти; вийде 7. Далѣе берем' десятки: 3 і 3 составіт' 6, при чем' друга трійка представляет' собою дополненіе 6 десятков' вичітаемаго до 9-ти, а до 9-ти тому, що над 'десятками уменьшаемаго стоїть крапка, как' ЗНАК заніманія. Нарешті, опредѣляем' сотні: 7 да 7-м 14, 4 берем', а 1 скідиваем'. Остаточний отвѣт' будет 467. Тепер треба пояснити, чому ми так 'дѣлаем', і на чем' основан' етот' способ'. Нам 'потрібно відняти 264, а ми не тільки не стали забирати, але навіть почали прикладати і доклали всього 7 сотен' 3 десятка 6 едініц'. На скільки ж ми помилилися, завдяки тому, що вмѣсто отніманія 264-х 'додали 736? Очевидно, на 736 + 264, т. Е. Рівно на тисячу.

Цю свою помилку ми і ісправляем' Вь самом' концѣ, отчерківая у отвѣта тисячу. Якби нам 'дан' бил прімѣр' 34985322- 12467876, то вичісленіе вийшло б таке: 2 + 4 = 6, 2 + 2 = 4, 3 + 1 = 4, 5 + 2 = 7, 8 + 3 = 11, із' цього лѣвая одиниця скидається, 9 + 6 = 15, 4 + 8 = 12, 9 + 3 = 12, всѣ лѣвия Едининая покриваються. Якщо потрібно дѣйствіе виробляти поскорѣе, то краще точки ставити не над 'уменьшаемим', а над' вичітаемим'. І взагалі етот' п'ятий способ' напомінает' собою другий епособ' тѣм', що займану одиницю можна вважати прикладеною Кь віднімається, а не відібраної од уменьшаемаго.