У деяких формулах є інші величини. Про їх позначенні буде сказано при появі такої необхідності.
Призма, паралелепіпед (прямий і похилий) і куб
Ці тіла об'єднані, тому що зовні дуже схожі, і формули того, як розрахувати обсяг, ідентичні:
Відрізнятися буде тільки S0. У випадку з параллелепипедом вона розраховується, як для прямокутника або квадрата. У призмі підставою може виявитися трикутник, паралелограм, довільний чотирикутник або інший багатокутник.
Для куба формула істотно спрощується, тому що всі його вимірювання рівні:
Піраміда, тетраедр, зрізана піраміда
Для першого з зазначених тел існує така формула, щоб обчислити об'єм:
Тетраедр є окремим випадком трикутної піраміди. У ньому все ребра рівні. Тому знову виходить спрощена формула:
Усіченої піраміда стає тоді, коли у неї зрізана верхня частина. Тому її обсяг дорівнює різниці двох пірамід: тієї, яка була б цілою, і віддаленій верхівки. Якщо є можливість дізнатися обидва підстави такої піраміди (S1 - більше і S2 - менше), то зручно користуватися такою формулою для розрахунку обсягу:
Циліндр, конус і усічений конус
Якщо потрібно розрахувати обсяг циліндра, можна скористатися формулою, яка вказана для призми. Іноді зручно записати її в такому вигляді:
Дещо складніше йде справа з конусом. Для нього існує формула:
V = 1/3 π * r 2 * h. Вона дуже схожа на ту, що вказана для циліндра, тільки значення зменшено в три рази.
Так само, як з усіченої пірамідою, справа йде непросто з конусом, який має дві підстави. Формула для обчислення обсягу усіченого конуса виглядає так:
Куля, кульові сегменти і сектор
Це найскладніші для запам'ятовування формули. Для обсягу кулі вона виглядає так:
У завданнях часто є питання про те, як розрахувати обсяг кульового сегмента - частини сфери, яка як би зрізана паралельно діаметру. У цьому випадку на виручку прийде така формула:
V = π h 2 * (r - h / 3). У ній за h взята висота сегмента, тобто та частина, яка йде по радіусу кулі.
Сектор ділиться на дві частини: конус і кульової сегмент. Тому його обсяг визначається як сума цих тіл. Формула після перетворень виглядає так:
V = 2/3 πr 2 * h. Тут h також висота сегмента.
приклади завдань
Про обсяги циліндра, кулі і конуса
Умова: діаметр циліндра (1 тіло) дорівнює його висоті, діаметру кулі (2 тіло) і висоті конуса (3 тіло); перевірити пропорційність обсягів V1. V2. V3 = 3: 2: 1
Рішення. Спочатку потрібно записати три формули для обсягів. Потім врахувати, що радіус - це половина діаметру. Тобто висота буде дорівнює двом радіусів: h = 2r. Провівши просту заміну виходить, що формули для обсягів матимуть такий вигляд:
V1 = 2 π r 3; V3 = 2/3 π r 3. Формула для обсягу кулі не змінюється, тому що в ній не фігурує висота.
Тепер залишилося записати відносини обсягів і зробити скорочення 2π і r 3. Виходить, що V1. V2. V3 = 1. 2/3. 1/3. Ці числа легко привести до запису 3. 2. 1.
Умова: є два кавуна радіусами 15 і 20 см; як їх вигідніше з'їсти: перший вчотирьох або другий увосьмеро?
Рішення. Щоб відповісти на це питання, потрібно знайти відношення обсягів частин, які дістануться від кожного кавуна. Беручи до уваги, що вони - кулі, потрібно записати дві формули для обсягів. Потім врахувати, що від першого кожному дістанеться лише четверта частина, а від другого - восьма.
Залишилося записати відношення обсягів частин. Воно буде виглядати так:
(V1. 4) / (V2. 8) = (1/3 π r1 3) / (1/6 π r2 3). Після перетворення залишається тільки дріб: (2 r1 3) / r2 3. Після підстановки значень і обчислення виходить дріб 6750/8000. З неї ясно, що частина від першого кавуна буде менше, ніж від другого.
Відповідь. Вигідніше з'їсти восьму частину від кавуна з радіусом 20 см.
Умова: є піраміда з глини з прямокутною підставою 8х9 см і заввишки 9 см; з цього ж шматка глини зробили куб; чому дорівнює його ребро?
Рішення. Якщо позначити боку прямокутника літерами в і з, то площа основи піраміди обчислюється, як їх твір. Тоді формула для її обсягу:
Формула для обсягу куба написана в статті вище. Ці два значення рівні: V1 = V2. Залишилося прирівняти праві частини формул і зробити необхідні обчислення. Виходить, що ребро куба буде дорівнює 6 см.
Умова: потрібно зробити ящик місткістю 0,96 м 3. відомі його ширина і довжина - 1,2 і 0,8 метра; якою має бути його висота?
Рішення. Оскільки підстава паралелепіпеда - прямокутник, його площа визначається як добуток довжини (а) на ширину (в). Тому формула для об'єму виглядає так:
З неї легко визначити висоту, розділивши обсяг на площу. Вийде, що висота повинна дорівнювати 1 м.
Відповідь. Висота ящика дорівнює одному метру.