Знайшов більш просте рішення задачі. Дивись малюнок.
Камінь падає по параболі (жирна крива лінія) і падає на схил в точці А. Х і У - координати точки А. Тобто Х - пройдений каменем шлях по осі х, і У - шлях по осі У. По осі Х (по горизонталі ) камінь рухається з постійною швидкістю Vх = 8 м / c. По осі У камінь падає на землю (тобто по вертикалі) за рахунок сили гравітації Землі зі швидкістю V у = gt, де g = 9,81 м / с - прискорення вільного падіння і t - час. Пройдений шлях по осі х визначається за формулою
Пройдений шлях по осі У дорівнює (рівноприскореного руху)
Знайдемо рівняння траєкторії, по якій камінь рухається (жирна лінія на малюнку). Для цього треба в рівняннях (1) і (2) виключити час t. З рівняння (1) знаходимо t = х / Vх. Підставляємо в рівняння (2), отримаємо
Тобто у залежить від х в квадраті. А це є рівняння параболи. Тепер треба знайти координати точки А (Х і У), де камінь падає на схил. Для цього треба знати ще й рівняння схилу (похилій площині або лінії 0А на малюнку). Рівняння цієї похилій прямій лінії (y = kx) таке
у = tg (-60 °) * x = -sgrt3 * х = -1,732х, (4)
так як тангенс -60 ° = -sgrt3 = -1,732. -60 ° - це кут Х0А (негативний), рівний по абсолютній величині кутку 0АУ = 60 °. sgrt - позначення квадратного кореня. З рівнянь (3) і (4) знаходимо (g / 2) (х / Vх) ^ 2 = 1,732х. Звідси знаходимо
Х = 2 * 1,732 * (Vх ^ 2) / g = 22,60 м (5)
так як у нас швидкість Vх = 8 м / с. Підставами це Х в рівняння (4), отримаємо
У = -39,14 м. Число негативне, так як відраховуємо відстань вниз від осі х. Х і У - це катети нашого трикутника. Гіпотенузу 0А = S знаходимо за теоремою Піфагора
З (4) знаходимо Y = -sgrt3 * Х, тоді Y ^ 2 = 3х ^ 2. З (6) знаходимо S ^ 2 = X ^ 2 + Y ^ 2 = 4х ^ 2. Звідси маємо S = 2Х. Використовуючи (5), отримаємо S = 45,2 м. Відповідь 45,2 м.
При киданні каменя (і будь-якого тіла) по горизонталі камінь бере участь відразу в двох видах руху. При цьому опором повітря нехтується, що можна зробити при невеликих швидкостях руху тіла. 1) Камінь летить по горизонталі з постійною швидкістю Vг = 8 м / c. Тому по горизонталі камінь проходить (пролітає) за час t шлях Sг = Vг * t. 2) Якщо просто відпустити камінь (тобто початкова швидкість дорівнює 0, то камінь буде падати вниз на землю по вертикалі. З фізики ми знаємо, що рух буде рівноприскореному з прискоренням вільного падіння g = 9,81 м / с ^ 2. Швидкість падіння буде збільшуватися з часом за формулою V ст = gt. при цьому шлях Sв, прохідний за час t при нульовій початковій швидкості, дається формулою з фізики Sв = g (t ^ 2) / 2. Траєкторія руху буде параболою. В якій точці парабола перетне гіпотенузу трикутника на вашому малюнку? Нехай на вашому трикутнику довжина гіпотенузи це відстань уздовж схилу до точки падіння каменя. Тоді довжина лівого катета дорівнює пройденому шляху по вертикалі Sв, а довжина нижнього катета - це пройдений шлях каменем по горизонталі Sг. З тригонометрії ми знаємо, що тангенс правого нижнього кута (60 °) дорівнює відношенню лівого катета до нижнього, тобто tg60 ° = Sв / Sг = [g (t ^ 2) / 2] / Vг * t = gt / 2Vг. Але tg60 ° = sgrt3. Де sgrt - корінь квадратний. тобто tg60 ° дорівнює квадратному кореню з 3. з отриманого рівняння знаходимо час руху каменю до падіння на схил
t = (2Vг * sgrt3) / g = (2 * 8 * sgrt3) / 9,81 = 2,825 с.
Тобто камінь падає 2,825 с. Тепер треба знайти, на якій відстані від кидав впаде камінь. Тобто відстань по схилу S. Пройдений шлях по горизонталі Sг = Vг * t = 8 * 2,825 = 22,6 м. Пройдений шлях по вертикалі вниз Sв = g (t ^ 2) / 2 = 9,81 * (2,825 ^ 2 ) / 2 = 39,1 м. Пройдений шлях по схилу знаходимо за формулою
S = sgrt (Sг ^ 2 + Sв ^ 2) = sgrt (22,6 ^ 2 + 39,1 ^ 2) = sgrt (511 + 1529) = sgrt (2040) = 45,2 м.
Отже, камінь впаде на відстані 45,2 м вниз по схилу.
І тут прийшла в голову думка, що S можна знайти простіше. З трикутника знаходимо, що Sг = S * sin30 °. Звідси S = Sг / sin30 ° = 22,6 / (1/2) = 22,6 * 2 = 45,2 м.
bezde lnik [25.1K]
Якщо не враховувати опір повітря, то камінь буде летіти з горизонтальною швидкістю Vг = 8 м / с і за час t до падіння на схил пагорба пролетить по горизонталі Sг = Vг * t = 8 * t м. У той же час камінь буде падати вертикально вниз з прискоренням земного тяжіння a = 9,81 м / с ^ 2 і пролетить по вертикалі Sв = a * t ^ 2/2 = 9,81 * t ^ 2/2. Оскільки кут схилу 60 градусів, то в точці падіння каменя на схил Sг = SinS30 * Sв = 1/2 * Sв, і отримуємо рівняння 8 * t = 9,81 * t ^ 2/4, звідки t = 32 / 9,81с . Для простоти розрахунку приймемо а = 10 м / с, тоді t = 3,2c, Sг = 8 * 3,2 = 25,6 м
Sв = 2 * 25,6 = 51,2 м. Відстань вздовж схилу знаходимо за теоремою Піфагора Sск = 57 м.