У шкільному курсі геометрії дані вельми бідні відомості про правильні многогранниках. Через брак часу не вдається приділити належну увагу правильним многогранників, але ж вони естетично привабливі. Завдань на цю тему пропонується зовсім небагато, через що дидактичні можливості теми абсолютно не розкриваються. Але ж вона в теоретичному відношенні дуже багата, дозволяє сформулювати багато цікавих, цілком доступних учням завдань, які необхідні для розвитку пізнавальних інтересів учнів, формування їх просторових уявлень. До таких завдань відносяться завдання на побудову каскад з правильних багатогранників. Завдання на побудову цих тіл цікаві своєю взаємозалежністю, яка грунтується на відомих теоретичних фактах.
У своїй роботі ми хочемо показати практичне застосування правильних багатогранників. Використання моделей багатогранників з самого початку вивчення стереометрії служить різним дидактичним цілям. На многогранниках зручно демонструвати взаємне розташування прямих і площин в просторі, показати застосування ознак паралельності і перпендикулярності прямих і площин в просторі. Крім того, ілюстрація перших теорем стереометрії на конкретних моделях підвищує інтерес учнів до предмету.
ЩО НАЗИВАЄТЬСЯ багатогранників?
Багатогранником називається тіло (частина простору), обмежене з усіх боків кінцевим числом площин. Поверхня багатогранника складається з кінцевого числа плоских багатокутників.
Опуклий і правильних багатогранників.
Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований по одну сторону площині кожного багатокутника на його поверхні. Загальна частина такої площини і поверхні називається гранню. Грані опуклого багатогранника - опуклі багатокутники. Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а вершини - вершинами многогранника.
Для будь-яких опуклих багатогранників існує деяке постійне співвідношення між числом вершин, граней і ребер, яке було встановлено Леонардом Ейлером (1707-1783).
Сума чисел граней і вершин опуклого багатогранника на два більше числа його ребер:
Де В - число вершин, Г - число граней, Р - число ребер багатогранника.
Дана формула називається формулою Ейлера.
Опуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані є правильними багатокутниками з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер, а сусідні грані сходяться під рівними кутами.
Слід зауважити, що правильних багатокутників можна побудувати нескінченно багато, а правильних багатогранників всього п'ять: тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр, ікосаедр. Підтвердити це можна за допомогою разверті опуклого багатогранного кута. Справді, для того щоб отримати який-небудь правильний багатогранник згідно з його визначенням, в кожній вершині має сходитися однакову кількість граней, кожна з яких є правильним багатокутником. Сума плоских кутів багатогранного кута повинна бути менше 360º, інакше ніякої багатогранної поверхні не вийде. Перебираючи можливі цілі рішення нерівностей: 60κ