У 1925 році закінчив медичний факультет Самарського університету, вступив до аспірантури 2-го Московського державного університету на кафедру патологічної фізіології. Учень академіка О. О. Богомольця.
У 1931-1941 роках - завідувач відділом. У 1942 Р. Е. Кавецький добровольцем пішов на фронт, де служив старшим інспектором фронтового евакопункту Південно-Західного і Сталінградського фронтів. Був нагороджений орденом Червоної Зірки і медалями.
У 1944 після визволення Києва від німецьких загарбників і демобілізації з армії Р. Е. Кавецький повернувся до Києва.
У 1944-1946 роках - заступник директора Інституту експериментальної біології і патології Міністерства охорони здоров'я України. Член ВКП (б) з 1944 року.
У 1946-1952 роках - директор Інституту фізіології АН УРСР. У 1953-1960 роках - завідувач відділом Інституту фізіології АН УРСР.
З 1960 року - директор Інституту експериментальної і клінічної онкології МОЗ України (з 1971 року - Інститут з проблем онкології АН УРСР (нині київський інститут експериментальної патології, онкології і радіобіології Національної Академії Наук України).
У 1945 був обраний членом-кореспондентом, а в 1951 - дійсним членом АН УРСР, в 1952 стає членом Президії АН УРСР, головою Бюро відділення біологічних наук АН УРСР.
Був членом Головної редакційної колегії першого і другого видань Української радянської енциклопедії.
Основні напрямки досліджень Р. Є. Кавецького пов'язані з вивченням сутності і причин виникнення пухлинного процесу, механізмів бластомогенеза, ролі організму, зокрема, його захисних реакцій, в трансформації клітини. Саме такі дослідження стали основою для розробки методів адекватного лікування і визначення шляхів попередження виникнення пухлин. Вирішенню цих проблем вчений присвятив все своє життя.
Займався спроблемамі реактивності організму - розробкою тестів визначення та методів їх підвищення, теоретичних і прикладних проблем онкології. Вперше запропонував лікування пухлин за допомогою лазерів.
В кінці 1970-х років в Інституті з ініціативи Р. Є. Кавецького почалося вивчення методів сорбційної очистки крові. За його активної участі було створено зразки принципово нових гемосорбентов, які мали унікальні властивості вилучати з крові токсичні продукти різної молекулярної маси, що знайшло широке застосування в клінічній практиці. Р. Є. Кавецький був ініціатором проведення досліджень неспецифічних захисно-регуляторних механізмів при канцерогенезі. Були отримані докази участі факторів системи гемостазу у формуванні протипухлинної резистентності організму на таких етапах, як малігнізація тканин, приживлення циркулюючих пухлинних клітин, формування і зростання новоутворень.