Ми пропонуємо познайомитися з фрагментами з книги американського популяризатора науки Кліффорда Піковера «Велика математика. Від Піфагора до 57-мірних об'єктів. 250 основних віх в історії математики », що вийшла в російській перекладі цієї осені у видавництві« БИНОМ. Лабораторія знань ».
Подібно книзі «Велика фізика», про яку ми вже розповідали, ця книга складається з 250 коротких есе про історію математики, розташованих в хронологічному порядку. З деякими з них ви можете познайомитися нижче.
Цикади і прості числа
Цикади - крилаті комахи, що з'явилися ок. 1,8 млн років тому в епоху плейстоцену, коли льодовики поперемінно займали і залишали територію Північної Америки. Цикади з роду Magicicada (так звані періодичні цикади) проводять більшу частину свого життя під землею, харчуючись соками коренів рослин, після чого вибираються на поверхню, де спаровуються і швидко вмирають. Цим істотам властива одна дивна особливість: час їх появи з землі відповідає періодам, тривалість яких зазвичай становить 13 або 17 років, т. Е. Є простим числом (просте число - таке ціле число, у якого є тільки два цілих подільника: 1 і воно саме, наприклад 11, 13, 17). Навесні 13-го або 17-го року свого життя періодичні цикади починають будувати тунель для виходу назовні. Іноді понад півтора мільйона особин з'являються одночасно на одному акрі землі. Подібна масовість є одним з механізмів їх виживання, оскільки служить швидкому пересичення хижаків, наприклад птахів. Ті просто не встигають з'їсти всіх вибралися на поверхню цикад.
Дослідники припускають, що формування циклів довжиною в просте число років обумовлено тим, що таким чином підвищується ймовірність уникнути зустрічі з більш короткоживущими хижаками і паразитами. Наприклад, якби життєвий цикл таких цикад становив 12 років, вони стали б більш легкою здобиччю для всієї сукупності хижаків з тривалістю життєвих циклів 2, 3, 4 або 6 років. Маріо Маркус з Інституту молекулярної фізіології Товариства Макса Планка (Дортмунд, Німеччина) разом зі своїми колегами виявив, що подібні «прості» цикли складаються природним чином при математичному моделюванні еволюційних змін в результаті взаємодії «хижак-жертва». В ході експерименту модельований за допомогою комп'ютера популяціям цикад були спочатку приписані випадкові значення тривалості життєвих циклів. Через певний час послідовність мутацій незмінно приводила до вироблення у модельованих цикад стабільного циклу з простого числа років.
Звичайно, подібні дослідження все ще знаходяться в зародковому стані і залишають безліч питань без відповіді. Що такого особливого в 13 і 17 роках? Які саме хижаки і паразити зумовили саме такий зсув тривалості життєвого циклу цикад? І як і раніше залишається загадкою, чому з усіх відомих науці 1500 видів цих комах лише представники невеликого роду Magicicada є періодичними.
Кость була виявлена в області Ішанго близько верховий річки Ніл, на території якої розташовувалася стоянка великої групи людей палеоліту. Пізніше ця місцевість виявилася похована під попелом під час виверження вулкана. Один з лав відміток на кістки починається з трьох борозенок, число яких потім подвоюється до шести. Чотири борозенки змінюються вісьмома. За десятьма борозенками слідують п'ять. Це може свідчити про загальне розуміння операцій подвоєння і ділення навпіл. Ще більш дивним здається той факт, що всі числа у другому ряду є непарними (9, 11, 13, 17, 19, 21). У третьому ряду містяться всі прості числа між 10 і 20, а сума всіх чисел в кожному з трьох рядів дорівнює або 60, або 48, а обидва цих числа кратні 12.
Вченими знайдено деяке число палеолітичних рахункових рейок, серед яких є і ще давніші, ніж кістка Ішанго. Наприклад, в місцевості Лебомбо в Свазіленді була виявлена малоберцовая кістка павіана віком 37 000 років з 29 насічками. Великогомілкова кістка вовка віком 32 000 років з 57 насічками, розділеними на групи по п'ять, була знайдена в Чехословаччині. Хоча подібні побудови і є чисто умоглядними, деякі дослідники навіть висунули гіпотезу про те, що позначки на кістки Ішанго являють собою якийсь вид місячного календаря, за допомогою якого жінка кам'яного віку відстежувала свій менструальний цикл. Це дозволило їм висунути тезу: «Крові породила математику». Навіть якщо кістка Ішанго є простий засіб рахунки, сам факт наносяться для цієї мети відміток відрізняє нас від тварин і являє собою перший крок до символьних обчислень. Повністю розгадати загадку кістки Ішанго ми зможемо тільки тоді, коли подібних їй об'єктів буде знайдено більше.
«Плимптон 322» - назва загадкової вавілонської глиняній таблички. У ній містяться записані клинописом числа, впорядковані в таблицю з 4 стовпців і 15 рядків. Історик науки Елеанор Робсон описує її як «один з найзнаменитіших математичних артефактів в світі». Табличка датується ок. 1800 р. До н.е. е. і являє собою перелік піфагорових трійок - таких цілих чисел, які відповідають довжинам сторін прямокутного трикутника і задовольняють співвідношенню a2 + b2 = c2, відповідному теоремі Піфагора. Наприклад, пифагорову трійку утворюють числа 3, 4, 5. Четверта колонка таблиці просто містить номер рядка. Єдиної думки щодо призначення чисел в таблиці не існує, але деякі дослідники вважають, що вони були набором рішень, записаних учнями при вивченні алгебраїчних або тригонометричних задач.
Вавилоняни писали на вологій глині, видавлюючи на ній знаки стилом - особливої загостреною паличкою для письма. У вавилонській системі числення число 1 записувалося у вигляді одиничного штриха, а числа від 2 до 9 представляли собою різні поєднання таких штрихів.
Гра в го складна з багатьох причин. Серед них великий розмір ігрового поля, різноманіття стратегій і величезна кількість варіантів можливих партій. Просте володіння бóльшим числом каменів, ніж у супротивника, не забезпечує перемоги. З урахуванням симетрії є 32 940 можливих ігрових дебютів, з яких 992 вважаються сильними. Число можливих варіантів розташування каменів на дошці зазвичай оцінюють приблизно в 10 172. а число всіх можливих партій - приблизно в 10 768. Як правило, гра між двома хорошими гравцями складається з приблизно 150 ходів, а середнє число можливих варіантів ходу зазвичай становить близько 250. якщо досить потужні програми для гри в шахи здатні перемогти найсильніших шахістів, то кращі програми для гри в го часто програють обдарованим школярам.
Граючим в го комп'ютерів складно прораховувати хід гри наперед, оскільки при цьому доводиться розглядати набагато більше число осмислених варіантів ходів, ніж в шахах. Процес оцінки вигідності певної позиції також вельми скрутний, оскільки відмінність між позиціями всього в одній незайнятої точці може впливати на долю великих груп каменів.
Давньогрецькі математики були зачаровані властивими геометрії красою, симетрією і порядком. Поділяючи з іншими це пристрасне захоплення, Гіппократ з Хіос показав, яким чином можна побудувати квадрат, рівний за площею заданої луночку - серповидної фігурі, утвореної опуклими дугами двох кіл. Знаходження Гіппократом квадратури луночек є одним з найбільш ранніх з відомих прикладів математичних доказів. Іншими словами, Гіппократ продемонстрував, що площа цих луночек може бути в точності виражена через площу прямолінійною фігури, або «квадратури». У наведеному тут прикладі сумарна площа жовтих луночек, що стосуються вершин прямокутного трикутника, дорівнює площі цього трикутника.
Під знаходженням квадратури древніми греками розумілося побудова за допомогою циркуля і лінійки такого квадрата, площа якого була б дорівнює площі заданої фігури. Якщо така побудова можливо, про фігуру говорять, що вона є квадрованою. Греки добре освоїли побудова квадратур багатокутників, але завдання знаходження квадратури криволінійних фігур виявилися набагато складніше. Власне, на перший погляд було дуже сумнівно, що криволінійні об'єкти взагалі можна квадрировать.
Гіппократ також відомий тим, що склав перший відомий систематична праця по геометрії, зробивши це майже за століття до Евкліда. Евклід міг використовувати деякі з ідей Гіппократа в своїх «Засадах». Твори Гіппократа примітні тим, що вони заклали загальні структурні основи, від яких могли надалі відштовхуватися інші математики.