Коренем -ної ступеня. де- натуральне число і. з числа називають таке число. -я ступінь якого дорівнює. Записують: або. Тоді, якщо. то. Число називають подкоренное виразом. а число - показником кореня.
Ненегативний корінь -ної ступеня з невід'ємного числа називають арифметичним коренем-ного ступеня з числа. Наприклад:. .
Якщо показник кореня парне число, то подкоренное вираз не може бути негативним числом, так як парна ступінь і позитивного і негативного числа є число позитивне.
Якщо показник кореня дорівнює числу. то маємо корінь другого ступеня або квадратний корінь з невід'ємного числа, який прийнято позначати або. Наприклад:; .
Якщо показник кореня непарне число, то подкоренное вираз може бути позитивним числом, негативним числом і числом.
Якщо показник кореня дорівнює числу. то маємо корінь третього ступеня або кубічний корінь з числа, який прийнято позначати. Наприклад:; .
При парному значенні властивості 1.16 і 1.17 справедливі, якщо значення і невід'ємні, а властивість 1.18 справедливо, якщо до того ж. Властивості 1.19 і 1.20 справедливі при будь-яких значеннях і.
Внесення множника під знак кореня
Якщо показник кореня непарне число. то для будь-якого числа і натурального числа справедливо рівність:
Винесення множника з-під знака кореня
Якщо показник кореня непарне число. то справедлива рівність:
Якщо показник кореня парне число. то справедлива рівність:
Порівняння виразів, що містять корені
1. Якщо b> 0 "alt =" LaTeX formula: a> b> 0 "src =" http://helpy.quali.me/uploads/formulas/9a95837e3f62490cd7c6472ea113bc5d08d951d8.1.1.png "style =" font-family: ' PT Sans ', Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 15px; ">. то \ sqrt [n]" alt = "LaTeX formula: \ sqrt [n]> \ sqrt [n]" src = "http://helpy.quali.me/uploads/formulas /a282355b0461dc1f9cbb239c831ac5ac69d253a7.1.1.png "style =" font-family: 'PT Sans', Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 15px; ">. Наприклад, \ sqrt "alt =" LaTeX formula: \ sqrt> \ sqrt "src =" http://helpy.quali.me/uploads/formulas/d50a51934ee117ed42e6c8cb96f8fa2cf5d626ea.1.1.png "style =" font-family: 'PT Sans ', Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 15px; ">.
2. Якщо 1 "alt =" LaTeX formula: a> 1 "src =" http://helpy.quali.me/uploads/formulas/c26eea90be6d237b5fcf937a44ba499322dfd606.1.1.png "style =" font-family: 'PT Sans', Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 15px; "> і. то \ sqrt [m]" alt = "LaTeX formula: \ sqrt [n]> \ sqrt [m]" src = "http://helpy.quali.me/uploads/ formulas / ef2056d5c24c8cf29ae48fe5c214ec5e2cf3426d.1.1.png "style =" font-family: 'PT Sans', Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 15px; ">. Наприклад,.
3. Якщо, то. Наприклад, \ sqrt "alt =" LaTeX formula: \ sqrt [4]> \ sqrt "src =" http://helpy.quali.me/uploads/formulas/4228339478bab96285d02a2ec0c61dd58732415b.1.1.png "style =" font-family: 'PT Sans', Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 15px; ">.
4. Щоб порівняти числа і. необхідно представити їх у вигляді кореня однієї і тієї ж ступеня.
5. Щоб порівняти числа і необхідно або витягти корінь-го ступеня з або представити число у вигляді.
Ступінь з дійсним показником
Ступеня з дійсним показником мають всі властивості ступенів з цілим показником. При цьому слід пам'ятати, що:
а) ступінь числа з натуральним показником має сенс для будь-якого підстави, так як ця ступінь визначається за допомогою операції множення;
б) ступінь з цілим від'ємним показником має сенс для будь-якого підстави, крім підстави. так як ця ступінь визначається за допомогою операцій множення і ділення;
в) ступінь з раціональним показником визначається за допомогою операції витягання кореня, яка завжди здійсненна, якщо підстава ступеня позитивне число і не завжди здійсненна, якщо підстава ступеня негативне число;
г) ступінь з будь-яким дійсним показником завжди визначена, якщо її основа - позитивне число.
Середнє арифметичне і середнє геометричне
Щоб знайти середнє арифметичне кількох чисел необхідно суму цих чисел розділити на їх кількість.
Наприклад, середнє арифметичне чисел, і так само.
Щоб знайти середнє геометричне двох позитивних чисел, необхідно витягти корінь другого ступеня з добутку цих чисел. Щоб знайти середнє геометричне позитивних чисел, необхідно витягти корінь ступеня з добутку цих чисел. Наприклад, середнє геометричне чисел,, і так само.
Приклад 1. Знайдіть значення виразу.