Доведення. Група H транзитивна на підмножині з m символів. Будь-яка підгрупа, сполучена з H. транзитивна на деякій множині з m символів, а так як група G транзитивна, будь-який символ потрапляє щонайменше в одне з цих множин. Якби ці безлічі або не перетиналися, або збігалися, то вони були б областями імпрімітівності для групи G. Отже, для підгрупи H існують пов'язані з нею підгрупи, які переставляють деякі, але не всі, з тих символів, які переставляє підгрупа H. нехай H # X2032; - одна з підгруп, пов'язаних з H і така, що групи H і H # X2032; переставляють найбільше можливу кількість загальних символів. покладемо
Цей запис ми розуміємо так, що c 1. c s. c_> - це символи, переставляти як групою H. так і групою H # X2032; . a 1. a r. a_> - це інші символи, переставляти групою H. b 1. b r. b_> - це інші символи, переставляти групою H # X2032; . Стверджується, що якщо група H примітивна, то r = 1. а якщо H імпрімітівна і r> 1. то a 1. a r. a_> складають область імпрімітівності для H. Візьмемо елемент h # X2032; з H.
Тут елементи нижнього рядка не уточнюються, а просто вказано, що u елементів виду b i> відображаються в елементи b. деяке число елементів b відображається в елементи c. деяке число c - в b і c в c. При цьому слід зазначити, що число r # X2212; u елементів виду b i>. відображаються в елементи виду c j>. має дорівнювати числу елементів виду c j>. відображаються в елементи виду b i>. так як в нижній сходинці підстановки h # X2032; має бути рівно r елементів виду b i>.
Звідси випливає, що підгрупа h # X2032; # X2212; 1 # X2217; H # X2217; h # X2032; * H * h '> переставляє r елементів виду a k>. r # X2212; u елементів виду b i> і (s # X2212; r + u) елементів виду c j>. а тому ця підгрупа переставляє всього s + u елементів таких, які переставляються також підгрупою H. Таким чином, якщо r> 1 і підгрупа H # X2032; примітивна, ми можемо знайти елемент h # X2032; . переводить деякі, але не всі, елементи виду b i> в елементи того ж виду, звідки 1
У разі, коли група H імпрімітівна, проведене міркування не застосовується. Але ми можемо збільшувати число s символів, що зсуваються одночасно підгрупами H і H # X2032; . до тих пір, поки символи b 1. b r. b_ »не складуть область імпрімітівності для H # X2032; . а a 1. a r. a_> - область імпрімітівності для H. Крім того, H # X222a; H # X2032; - транзитивній група на s + 2 r = m + r символах. Таким чином, якщо m менше, ніж n / 2. то m + r буде менше, ніж n. Ми можемо продовжити побудову транзитивних підгруп над усе зростаючим числом символів, поки не вийде транзитивній підгрупа H над m символами, причому m більше n / 2. але менше n. Тоді будь-яка підгрупа H # X2032; . сполучена з H. переставляє кілька тих же символів, що і підгрупа H. Припустимо, що підгрупа H транзитивна на найбільшому можливому числі символом, що не перевищує n. Якщо s + 2 r = n і r = 1. то підгрупа H транзитивна на n # X2212; 1 символах, а тому група G двічі транзитивна. Якщо це не має місця, ми побудуємо групу H. для якої s + 2 r = n і r # X2260; 1. В цьому випадку символи виду a k>. b i> і c j> складають все безліч, на якому діє група G. Нo так як група G примітивна, то існує такий елемент g групи G. який відображає символ b 1> в деякий певний символ b i>. але не всі символи такого виду - в символи того ж виду, а тому він відображає щонайменше один елемент виду a k> або c j> в елемент виду b i>. Тоді обидві підгрупи H і g # X2212; 1 H g Hg> залишають на місці вказаний елемент b i> і їх об'єднання і є транзитивній група над великим числом символів, ніж підгрупа H. Отже, ми в кінці отримаємо транзитивною підгрупу на n # X2212; 1 символах, і тому група G двічі транзитивна.
- Схема дослідження властивостей групи G =
:
- Перевіряємо: G - транзитивна або інтранзітівна.
- G # X2212; транзитивна, тоді доводимо її примітивність (або імпрімітівность).
- G # X2212; примітивна, тоді дивимося класифікацію (відноситься до одного з класів), доводимо її 2-транзитивність.
- G # X2212; імпрімітівна, тоді факторізуем по блокам імпрімітівності.
- G # X2212; 2-транзитивна і G # X2286; A n. . \, \!> Якщо G # X2209; A n # X21d2; \ Rightarrow \, \!> Перевіряємо, чи буде G = S n \, \!> (Чи співпаде?)
Приклад Вправа 2
- Переконатися в справедливості наступних тверджень:
- A G L n (G F (2)) (GF (2)) \, \!> 3-транзитивна для # X2200; n. n # X2212; довільна розмірність.
- A G L 2 (G F (2)) (GF (2)) \, \!> 4-транзитивна і A G L 2 (G F (2)) # X2245; S 4 (GF (2)) \ cong S _ \, \!> (Ізоморфна симетричній групі).
- G L 2 (G F (2)) # X2245; S 3 (GF (2)) \ cong S _ \, \!>
- За яких n A G L n (G F (2)) (GF (2)) \, \!> Є точно 3-транзитивной?
- Довести: (G. # X3a9; ) t # X2212; транзитивна тоді і тільки тоді, коли підстановкою з G можна будь-який набір з t різних букв з # X3a9; перевести в усі набори з t різних букв з # X3a9 ;.