Критерій Коші збіжності послідовності

З визначення збіжності послідовності \ >>> до точки a випливає, що для будь-якого ε> 0 інтервалом довжиною 2 ε можна накрити всю цю послідовність, винятком може бути кінцеве число її елементів, якщо середину інтервалу помістити в точці a. Справедливо і зворотне. якщо послідовність \ >>> така, що для будь-якого ε> 0 можна накрити всю цю послідовність, виключаючи може бути кінцеве число її елементів, помістивши центр інтервалу в деяку точку, то вона сходиться.

Теорема (Критерій Коші). Для того, щоб послідовність \ >>> сходилася, необхідно і достатньо щоб вона була фундаментальною.

∀ p ∈ N | x n + p - x n |≤| x n + p - x |<2 ε. ∀ n> N (ε) -x_ \ mid \ leq \ mid x_-x \ mid <2\varepsilon ,\forall n>N (\ varepsilon)>

Так як послідовність фундаментальна, то ∀ ε> 0 ∃ x N>. в ε -окрестності якої існують всі елементи після x 1. x 2. x 3. x N - 1, x_, x_. x_>.

У відрізку [A, -A] містяться всі елементи послідовності, тобто \ >>> - обмежена.

Внаслідок теореми Больцано-Вейєрштрасса (x ¯; x _>; >>) <( x n − ε ; x n + ε -\varepsilon ;x_+\varepsilon> ).