Нехай крива задана функцією з відрізка в. Нехай крива досить гладка.
Визначення 1 .Касательним вектором називається вектор. Бінормаль - векторний добуток. Головна нормаль - векторний добуток дотичній і бинормали.
Визначення 2 .Сопрікасающаяся площину - площину дотичній і головною нормалі. Нормальна площина - площина головної нормалі і бинормали. Спрямляются площину - площину бинормали і дотичній.
Визначення 3 .Сопровождающій тригранник - набір з трьох прямих і трьох площин з визначень вище.
Зауваження 1 .По вектору і точці можна побудувати пряму так: - точка на прямій, - направляючий вектор, тоді рівняння прямої буде.
Зауваження 2 .По двох векторах і точці можна побудувати рівняння площини у вигляді визначника. Нехай - точка, і - вектора площини. Тоді рівняння площини виглядає так:
Введемо вектора. Введемо натуральну параметризацію - по довжині дуги. . - довжина кривої від початку. Тоді в натуральній параметризації вектора виглядають так:.
Розглянемо. Це - швидкість обертання вектор-функції (швидкість зміни її кута). Можна показати, що.
Зауваження 3 .Можно показати, що якщо - вектор, який має постійну довжину, то перпендикулярний. Цей факт використовується і раніше, коли йдеться про те, що перпендикулярний. і що перпендикулярний. А доводиться це просто:.
Доведемо формули Френе:
Перше рівність очевидно:. оскільки. Далі,. оскільки. значить, їх векторний добуток дорівнює нулю. Далі помічаємо, що вектор перпендикулярний дотичному вектору і вектору, перпендикулярному до головної нормалі, тому він сонаправлени з головною нормаллю. Позначаючи коефіцієнт пропорційності. отримаємо. Тепер розглянемо.
Зауваження 4 .Крівізной називається коефіцієнт. Крива є прямою тоді і тільки тоді, коли кривизна дорівнює нулю. Крутінням називається коефіцієнт. Крива є плоскою тоді і тільки тоді, коли крутіння дорівнює нулю.
Зауваження 5 Слід формули допомагають на практиці обчислювати кривизну і крутіння.