2.6 Кругова згортка.
Реальним сигналам відповідають числові послідовності кінцевої довжини. Кінцеву числову послідовність можна продовжити по осі часу шляхом періодичного повторення і отримати періодичну числову послідовність. Періодичної числової послідовності відповідає спектр у вигляді періодичної числової послідовності. Обидві послідовності мають однаковий період N і пов'язані формулами ДПФ.
Заміна реальних послідовностей періодичними дозволяє підвищити ефективність використання обчислювальної техніки стосовно дискретним сигналам (швидкісна згортка, БПФ і ін.)
Згортка періодичних послідовностей називається круговою і визначається на інтервалі рівному одному періоду.
y (nT) = x (kT) Чh (nT - kT), (2.13)
Лінійна і кругова згортки дають однаковий результат, якщо відповідним чином вибрати в круговій згортку розмір вихідних послідовностей. Справа в тому, що згортка кінцевих послідовностей призводить до послідовності, розмір якої N перевищує довжину кожної з вихідних послідовностей і, за визначенням, дорівнює
де N1 - довжина послідовності x (nT),
N2 - довжина послідовності h (nT).
Тому заміна вихідної послідовності на періодичну виконується з таким розрахунком, щоб довжина періоду вийшла рівною N, додаючи з цією метою нулі в якості відсутніх елементів.
Обчислити кругову згортку за даними прикладу в параграфі 2.4.
Тут, нехтуючи малими значеннями відліків представимо імпульсну реакцію у вигляді кінцевої числової послідовності h (nT) =.
Звідси, оскільки x (nT) =, з урахуванням (2.14)
Отже вихідні числові послідовності запишуться так
Звідси, застосовуючи (2.13), отримуємо
n = 0: y (0T) = x (0T) h (0T) + x (1T) h (-1T) + x (2T) h (-2T) + x (3T) h (-3T) = 0;
n = 1: y (1T) = x (0T) h (1T) + x (1T) h (0T) + x (2T) h (-1T) + x (3T) h (-2T) = 0,4 ;
n = 2: y (0T) = x (0T) h (2T) + x (1T) h (1T) + x (2T) h (0T) + x (3T) h (-1T) = 0,168;
n = 3: y (0T) = x (0T) h (3T) + x (1T) h (2T) + x (2T) h (1T) + x (3T) h (0T) = -0,016;
Отже y (nT) =, що збігається з розрахунками по лінійної згортку в прикладі параграфа 2.4.
Графіки періодичних числових послідовностей x (nT), h (nT), y (nT) наведені на рис. (2.7).
До періодичним числовим послідовностям, отриманим викладеним вище способом, можна застосувати ДПФ, перемножити результати і після виконання зворотного ДПФ отримати послідовність y (nT), збігається з результатами розрахунків за коловою пакунку.
2.7. Енергія дискретного сигналу.
Кореляція і енергетичний спектр.
Як енергії дискретного сигналу прийнята міра
відповідно в частотної області, відповідно до рівності Парсеваля,
Wx = X 2 (w) dw = X (jw) X * (jw) d (jw), (2.16)
де X (jw) = X (w) e j j (w) - спектр сигналу x (nT),
X * (jw) = X (w) e -j j (w) - спектр x (-nT) відповідно до теореми про спектр інверсного сигналу,
X 2 (w) = X (jw) ЧX * (jw) = Sx (jw) - енергетичний спектр сигналу x (nT).
На рис. (2.8) показаний як приклад сигнал x (nT) і його інверсна копія x (-nT) для деякого окремого випадку
Енергетичний спектр висловлює середню потужність сигналу x (nT), що припадає на вузьку смугу частот в околиці змінної w.
У тимчасовій області енергетичного спектру відповідає згортка Інверн сигналів, що визначає кореляційний функцію Sx (nT) сигналу x (nT).
Згідно (2.17) і (2.15) кореляційна функція в точці n = 0 дорівнює енергії сигналу, т. Е.
Для періодичних дискретних сигналів кореляційна функція і енергетичний спектр пов'язані формулами ДПФ
Звідси виходять розрахункові формули енергії періодичних дискретних послідовностей
що відповідає рівності Парсеваля для дискретних періодичних сигналів. Кореляційна функція таких сигналів визначається за формулою кругової згортки
.
Розрахунок енергії дискретного сигналу можна виконати при необхідності, застосовуючи рівність Парсеваля щодо Z - зображень сигналу і його інверсної копії (теорема енергій)
де - Z - зображення кореляційної функції.
Умесно помітити, що стосовно до випадкових сигналів кореляційна функція частіше визначається формулою з ваговим множником, тобто
,
відповідно для енергетичного спектра
,
що призводить до результату, при якому середнє значення випадкової величини з ростом N сходиться до постійної величини.
Згортка сигналу з інверсної копією іншого сигналу називається взаємної кореляцією цих сигналів.
Інформація про роботу «Цифрова обробка сигналів»
Розділ: Радіоелектроніка
Кількість знаків з пробілами: 72858
Кількість таблиць: 1
Кількість зображень: 34