IІ. ПРОСТОРОВІ КРИВІ
(Лекції №3, 4, 5, практичні заняття №2, 3, контр. Робота 20 хв.)
1) Поняття кривої в просторі. Параметричне завдання кривої.
2) Рівняння дотичної в разі параметричного завдання кривої і в разі завдання кривої, як перетину двох поверхонь.
3) Довжина дуги кривої. Натуральний параметр кривої.
4) Визначення 2.1 (Коло, радіус і центр кривизни, кривизна)
5) Визначення 2.2 (головна нормаль і формула для її знаходження).
6) Визначення 2.3 (бінормаль і формула для її знаходження).
7) Визначення 2.4 (площин супроводжуючого тригранників).
8) Формули Френе. Кручення.
9) Визначення 2.5 (еволюти). Рівняння еволюти.
10) Визначення 2.6 (евольвенти).
2.1 ЗАВДАННЯ ЛІНІЇ В ПРОСТОРІ.
Під кривою в просторі будемо розуміти множествоГ точок в просторі, заданий, як безперервний образ певного проміжку числової осі.
Криву можна задати параметрично:
або як годограф вектор-функції,.
2.2 дотичних КРИВИЙ.
Крива називається дифференцируемой, безперервно диференціюється, двічі диференціюється і т.д. якщо відповідно координатні функції у формулі (2.1) мають похідні, безперервно мають похідні, двічі діфференцируєми і т.д.
ПустьГ - дифференцируемая крива, задана як годограф вектор-функції; і Тоді пряма, яка є дотичною до годографу вектор - функції в кінці радіус - вектора. називається дотичній до крівойГ .Оскільки по геометричному змістом є напрямних вектором дотичній, рівняння дотичній в точкеМ0 (х0, y0, z0) можна записати у вигляді:
У разі завдання кривої рівняннями
(Тут роль параметра грає переменнаях), рівняння дотичній мають вигляд:
Складемо рівняння дотичної до кривої, заданої, як перетин двох поверхонь, заданих рівняннями в неявній формі
Диференціюючи ці тотожності, одержимо
Звідси видно, що вектор дотичної перпендикулярний кожному з векторів. тобто коллінеарен їх векторному добутку
Якщо на кривій вказати позитивний напрямок, відповідне зростанню параметраt, то вектор називають дотичним вектором орієнтованої кривої.
Кутом між орієнтованими кривими, пересічними в деякій точці, називається кут між їх дотичними в цій точці.
Приклад 2. 1склала рівняння дотичній до гвинтової лінії: в довільній точкеt і для.
Рішення. Так як то рівняння дотичної в довільній точці згідно (2.2) буде мати вигляд
Зокрема при:
Рішення. Крива Вівіані є лінією перетину поверхонь сфери з центром на початку координат і кругового циліндра з центром (утворює), зміщеним уздовж осі (в даному випадку) Ох на величину, рівну радіусу циліндра. Діаметр циліндра дорівнює радіусу сфери.
Запишемо рівняння поверхонь в неявному вигляді
Тоді і згідно (2.2) рівняння дотичній в довільній точці лінії будуть мати вигляд
2.3ДЛІНА КРИВИЙ. НАТУРАЛЬНИЙ ПАРАМЕТР КІВОЮ.
Розглянемо дугу безперервно диференціюється кривої
У розділі «Певний інтеграл» ми отримали формулу для знаходження довжини дуги кривої:
При змінному верхній межі довжина дуги буде змінною величиною:
Якщо параметромt кривої є змінна величина дугіs. то координати точки М кривої будуть залежати від довжини дугіs = АМ: x = x (s), y = y (s), z = z (s) (природна параметризація) .Тоді в формулі (2.7) і, отже,. тобто вектор буде одиничним вектором дотичної до кривої.
Для будь-якої безперервно диференціюється кривої без особливих точок існує її подання. в якому за параметрs взята змінна довжина дуги цієї кривої, тобто натуральнаяпараметрізація.
Приклад 2.3 Знайти довжину дугіs (t) гвинтовий лінії
Рішення. Дотичний вектор гвинтовий лінії дорівнює. тоді
Приклад 2.4 Записати натуральну параметризацію гвинтовий лінії.
Рішення. Довжина дуги лінії Звідси Подставляяt в вираженіяx (t), y (t), z (t), отримаємо рівняння гвинтової лінії в природній (натуральної) параметризації:
Завантажити з Depositfiles