Лінійна залежність і незалежність системи векторів.
Нехай - поле скалярів і F - його основне безліч. Нехай - -мірним арифметичне простір над - довільна система векторів простору
ВИЗНАЧЕННЯ. Лінійною комбінацією системи векторів називається сума виду де. Скаляри називаються коефіцієнтами лінійної комбінації. Лінійна комбінація називається нетривіальною, якщо хоча б один її коефіцієнт відмінний від нуля. Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.
ВИЗНАЧЕННЯ. Безліч всіх лінійних комбінацій векторів системи називається лінійною оболонкою цієї системи і позначається через. Лінійною оболонкою порожній системи вважається безліч, що складається з нульового вектора.
Отже, за визначенням,
Легко бачити, що лінійна оболонка даної системи векторів замкнута щодо операцій додавання векторів, віднімання векторів і умножений векторів на скаляри.
ВИЗНАЧЕННЯ. Система векторів називається лінійно незалежної, якщо для будь-яких скалярів з рівності слідують рівності. Порожня система векторів
вважається лінійно незалежною.
Іншими словами, кінцева система векторів лінійно незалежна в тому і тільки в тому випадку, коли будь-яка нетривіальна лінійна комбінація векторів системи не дорівнює нульовому вектору.
ВИЗНАЧЕННЯ. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують скаляри не всі рівні нулю, такі, що
Іншими словами, кінцева система векторів називається лінійно залежною, якщо існує нетривіальна лінійна комбінація векторів системи, рівна нульового вектору.
називається системою одиничних векторів векторного простору Ця система векторів лінійно незалежна. Справді, для будь-яких скалярів з рівності слід рівність і, отже, рівності
Розглянемо властивості лінійної залежності і незалежності системи векторів.
ВЛАСТИВІСТЬ 1.1. Система векторів, що містить нулі виття вектор, лінійно залежна.
Доведення. Якщо в системі векторів один з векторів, наприклад вектор нульової, то лінійна комбінація векторів системи, все коефіцієнти якої нульові, за винятком коефіцієнта при дорівнює нульовому вектору. Отже, така система векторів лінійно залежна.
ВЛАСТИВІСТЬ 1.2. Система векторів лінійно залежна, якщо яка-небудь її підсистема лінійно залежна.
Доведення. Нехай - лінійно залежна підсистема системи причому хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля. Тоді Отже, система векторів лінійно залежна.
СЛІДСТВО. Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи лінійно незалежна.
ВЛАСТИВІСТЬ 1.3. система векторів
в якій лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією попередніх векторів.
Доведення. Нехай система (1) лінійно залежна і Тоді існують скаляри не всі рівні нулю, такі, що
Позначимо через k найбільше з чисел задовольняє умові Тоді рівність (2) можна записати у вигляді
Відзначимо, що бо в іншому випадку отже, оскільки. З (3) випливає рівність
Припустимо тепер, що вектор є лінійна комбінація попередніх йому векторів, т. Е. Тоді, т. Е. Підсистема системи (1) лінійно залежна. Отже, по властивості 1.2, лінійно залежна і вихідна система (1).
ВЛАСТИВІСТЬ 1.4. Якщо система векторів лінійно незалежна, а система векторів
лінійно залежна, то вектор v лінійно виражається через вектори
і до того ж єдиним чином.
Доведення. За умовою система (2) лінійно залежна, т. Е. Існують скаляри не всі рівні нулю, такі, що
При цьому так як при що суперечить лінійної незалежності системи (1). З (3) випливає рівність
В силу лінійної незалежності системи (1) звідси випливає, що
ВЛАСТИВІСТЬ 1.5. Якщо і
Доведення. Умова означає що знайдуться такі скаляри що
Умова означає, що існують такі скаляри що
В силу (1) і (2) отримуємо
ТЕОРЕМА 1.2. якщо
то система векторів лінійно залежна. Доказ (проводиться індукцією по).
Будемо вважати, що вектори - ненульові, так як в противному випадку теорема очевидна. Припустимо, що Тоді Отже, система векторів лінійно залежна.
Припустимо, що теорема вірна при і доведемо, що тоді вона вірна при. Нехай, т. Е.
Якщо в правих частинах рівностей (2) усі коефіцієнти при дорівнюють нулю, то і, по індуктивному припущенню, система векторів лінійно залежна, а значить, лінійно залежна і система. Якщо ж хоча б один з коефіцієнтів при наприклад відмінний від нуля, то виключимо вектор з перших рівності. В результаті отримаємо
За індуктивному припущенню, з (3) випливає, що система векторів лінійно залежна. Отже, існують скаляри не всі рівні нулю, такі, що
де Отже, система векторів лінійно залежна.
СЛІДСТВО 1.3. Якщо, то система векторів лінійно залежна.
СЛІДСТВО 1.4. Якщо їх, і система векторів лінійно незалежна, то.
СЛІДСТВО 1.5. У -мірному арифметичному векторному просторі лінійно залежна будь-яка система векторів, що складається з або більшого числа векторів.
Слідство 1.5 випливає з теореми 1.2, так як будь-який -мірний вектор є лінійною комбінацією одиничних векторів