Лінійні оператори з простим спектром.
Вивчимо лінійні оператори -мірного векторного простору, що мають різних власних значень.
ТЕОРЕМА 5.7. Якщо власні вектори лінійного оператора мають різні власні значення, то система лінійно незалежна.
Доведення. Нехай - лінійний оператор векторного простору і - його власні вектори, що належать різним власним значенням, т. Е.
Доказ проводиться індукцією по числу т. Так як будь-який власний вектор відмінний від нульового вектора, то теорема вірна при. Припускаючи, що теорема вірна для векторів, доведемо, що вона вірна для векторів.
Треба довести, що для будь-яких з рівності
Так як є лінійний оператор, то з (3) випливає рівність і в силу (1)
Додавши до обох частин рівності (5) відповідні частини рівності (3), помножені на (), отримаємо
За індуктивному припущенню, система власних вектор лінійно незалежна. Тому з (6) слідують рівності
З огляду на (2) звідси маємо
В силу (3) і (7), крім того, отже,
Таким чином, доведено, що з (3) випливає (4), т. Е. Система лінійно незалежна.
ВИЗНАЧЕННЯ. Лінійний оператор -мірного векторного простору має різних власних значень, називається оператором з простим спектром; набір усіх власних значень оператора називається спектром оператора.
ПРОПОЗИЦІЯ 5.8. Нехай - лінійний оператор -мірного векторного простору 4 ° з простим спектром. Нехай - власні вектори оператора належать відповідно. Тоді система є базисом простору.
Доведення. За умовою, спектр оператора складається з попарно різних скалярів. По теоремі 5.7, це означає, що система власних векторів лінійно незалежна. За слідству 7.3.4 звідси випливає, що система є базис простору.
ТЕОРЕМА 5.9. Нехай - лінійний оператор -мірного векторного простору з простим спектром - власні вектори оператора належать відповідно власним значенням Тоді діагональна матриця
є матрицею оператора щодо базису і для будь-якого вектора простору
Доведення. За умовою,
Ці рівності показують, що діагональна матриця (1) є матрицею оператора щодо базису. Далі, якщо, то з огляду на лінійності оператора маємо
В силу (3) звідси випливають рівності (2).