Рівняння (1) рівносильне рівнянню ax = -b звідки слід наступне твердження.
Затвердження 1.- Якщо a ≠ 0, то рівняння (1) має єдине рішення x = - b / a;
- Якщо a = 0, b ≠ 0, то безліч рішень рівняння (1) порожньо;
- Якщо a = 0, b = 0, то будь-яка дійсна число є рішенням рівняння (1).
Таким чином, наведені вище лінійні рівняння вирішуються наступним чином:
a) x = - 6/2. тобто x = -3;
b) x = 2;
c) будь-яке дійсне число є рішенням даного рівняння;
d) рівняння не має рішень;
e) x = 0.
Зауваження 2. Рівняння (ax + b) (cx + d) = 0 де a. b. c. d Про R. зводиться до сукупності лінійних рівнянь
Приклад 1. Вирішити рівняння
Рішення. a) x = 6.
b) 2x + 1 = 2x + 3 И 2x - 2x = 3 - 1 И 0 · x = 2 звідки випливає, що рівняння не має рішень.
c) -x + 2 = 2 - x И -x + x = 2 - 2 И 0 · x = 0, отже, будь-яка дійсна число є рішенням рівняння.
Таким чином, якщо 2a ≠ 4, тобто a ≠ 2, то рівняння має єдине рішення x = 2a. а якщо a = 2, то рівняння не має рішень.
f) Якщо a = 0 або b = 0, то рівняння не має сенсу. Нехай a · b ≠ 0. Тоді рівняння рівносильне наступному x (b + a) = abc звідки слід:
- якщо b + a ≠ 0, тобто a ≠ -b. то рівняння має єдине рішення
- якщо a = -b і c ≠ 0, то рівняння не має рішень.
- якщо a = -b і c = 0, то будь-яка дійсна число є рішення даного рівняння.
g) ОДЗ рівняння визначається з системи
звідки x ≠ a / 5 і, якщо a ≠ 0, x ≠ 1 / a. Якщо a = 0, то рівняння набуде вигляду або -2 = 15x.
звідки, і, оскільки слід, що якщо a = 0 то рівняння має рішення.
Нехай a ≠ 0. Тоді в ОДЗ рівняння набуде вигляду 2 (ax - 1) = 3 (5x - a), звідки (2a - 15) x = 2 - 3a і, отже,
- якщо 2a - 15 ≠ 0, тобто то отримаємо;
- якщо 2a -15 = 0, тобто то рівняння не має рішень.
Таким чином для потрібно перевірити умову x ≠ a / 5 і x ≠ 1 / a. або (2a - 15) a ≠ 5 (2 - 3a) звідки 2a 2 ≠ 10, або Таким чином, для рівняння не має рішень.
У разі другого обмеження отримаємо або a (2 - 3a) ≠ (2a - 15), звідки 3a 2 = 15, тобто a 2 ≠ 5 (вже досліджений випадок).
Таким чином, якщо рівняння не має рішень, а якщо то рівняння має єдине рішення (зауважимо, що рішення отримане в разі a = 0 міститься в наведеному вище результаті).
Приклад 3. Вирішити рівняння
Таким чином, якщо a = 0, то система (а, отже, і рівняння) має єдине рішення x = 0, а якщо a ≠ 0, то система (і вихідне рівняння) рішень не має.
Очевидно, що якщо a 0. Тоді a = | a | = | (2a - x) + (x - a) |, і рівняння набуде вигляду | x - a | + | 2a - x | = | (2a - x) + (x - a) |. Це рівняння рівносильне (див. Властивості модуля) нерівності (2a - x) (x - a) ≥ 0 звідки, враховуючи, що 0 0, то рівняння має нескінченну кількість рішень - будь-яке число a ≤ x ≤ 2a.
d) Очевидно, що рівняння має рішення тільки при a> 0. Розглянемо три випадки:
якщо a = 1, то будь-яка дійсна число з відрізка [1; 2] є рішення вихідного рівняння;
якщо a ≠ 1, то рішень немає.якщо a> 1, то рівняння має два різних рішення і
якщо a = 1, то будь-яке число відрізка [1; 2] є рішення рівняння;
якщо aЛінейние нерівності
ax + b> 0, ax + b ≥ 0, ax + b 0. Розглянемо наступні випадки:
- a> 0, тоді ax + b> 0 И ax> -b И x> - b / a і, отже, безліч рішень нерівності ax + b> 0 (a> 0) є (- b / a; + Ґ);
- aax + b> 0 И ax> -b И x b / a і, отже, безліч рішень нерівності ax + b> 0 (a b / a);
- a = 0, тоді нерівність прийме вигляд 0 · x + b> 0 і для b> 0 будь-яка дійсна число є рішення нерівності, а при b ≤ 0 нерівність не має рішень.
Розглянемо кілька прикладів.
Приклад 1. Вирішити нерівності
Рішення. a) 3x + 6> 0 И 3x> -6 И x> -2, і, отже, безліч рішень вихідного нерівності є (-2; + Ґ).
b) -2x + 3 ≥ 0 И -2x ≥ -3 И x ≤ 3/2. тобто безліччю рішень вихідного нерівності є (- Ґ; 3/2].
c) Після елементарних перетворень отримаємо лінійне нерівність 2 (x + 1) + x Так як 1 3x + 2 ≥ 3 (x - 1) + 1 И 3x + 2 ≥ 3x - 3 + 1 И 0 · x + 4 ≥ 0, звідки випливає, що будь-яка дійсна число є рішенням вихідної нерівності.
Приклад 2. Вирішити нерівності
Рішення. a) У залежності від знака a розглянемо три випадки:
- якщо a> 0, то x ≤ 1 / a;
- якщо a 1 / a;
- якщо a = 0, то нерівність набуде вигляду 0 · x ≤ 1 і, отже, будь-яка дійсна число є рішенням вихідної нерівності.
b) Зауважимо, що | x - 2 | ≥ 0 для будь-якого дійсного x і - (a -1) 2 ≤ 0 для будь-якого значення параметра a. Отже, якщо a = 1, то будь-який x дійсне число, відмінне від 2, є рішенням нерівності, а якщо a ≠ 1, то будь-яка дійсна число є рішенням нерівності. Відповідь: якщо a = 1, то x Про R \, а якщо a Про R \, то x Про R.
c) Після елементарних перетворень отримаємо 3 (4a - x) 3 (4a - 1).
Далі розглянемо три випадки:
- якщо 2a + 3> 0, тобто a> - 3/2. то
- якщо 2a + 3 3/2. то
- якщо 2a + 3 = 0, тобто a = - 3/2. то нерівність набуде вигляду 0 · x> -21 і, так як 0> -21 - справжнє числове нерівність, слід, що будь-яка дійсна число є рішенням вихідної нерівності.
Далі розглянемо такі випадки:
- якщо a (b - 1)> 0, тобто a> 0 і b> 1, або a
- якщо a (b - 1) 0 і b 1, то
- якщо a = 0, b ≠ 1 то нерівність набуде вигляду 0 · x> 3 - b і для b> 3 будь-яке число є рішенням, а якщо b О (- Ґ; 1) І (1; 3], то безліч рішень нерівності порожньо.
- якщо a ≠ 0, b = 1, то нерівність набуде вигляду 0 · x> 2 і, очевидно, що воно рішень не має.
якщо a = 0 і b О (- Ґ; 1) І (1; 3) чи a ≠ 0 і b = 1, то нерівність не має рішень.
e) Зауважимо, що a ≠ ± 1, (в іншому випадку нерівність не має сенсу). Нерівність переписується в такий спосіб
Далі розглянемо такі випадки:
1. нехай a О (- Ґ; -1) І (1; + Ґ), тоді (a - 1) (a + 1)> 0 і, отже, вихідне нерівність рівносильне наступному x (2 - 3a) + 3 - a ≤ 0, або x (2 - 3a) ≤ a - 3, звідки для a> 1
Остання нерівність виконується в такий спосіб:
Таким чином, вихідне нерівність
при a О (- Ґ; -1) І (2/3; 1) має рішення
при a О (-1; 2/3) І (1; + Ґ) має рішення
при a = 2/3. будь-яка дійсна число є рішенням вихідної нерівності.
f) Початкове нерівність рівносильне наступному (a - c) x> d - b звідки випливає, що