Існує два види характеристик: логарифмічна амплітудна частотна характеристика (ЛАХ) і логарифмічна фазова частотна характеристика (ЛФХ). Для побудови ЛАХ знаходиться вираз
Значення для Lw виражаються в децибелах. Бел представляє собою логарифмічну одиницю, відповідну десятиразового збільшення потужності. Два білого відповідає збільшенню потужності в 100 разів, три білого - в 1000 разів і т. Д. Децибел дорівнює одній десятій частині білого.
Для побудови ЛАХ використовується система координат, ріс.1.33. По осі абсцис відкладається кутова частота (розмірність) в логарифмічному масштабі (ріс.1.33, а). Для цієї мети може використовуватися спеціальна логарифмічна папір або логарифмічна шкала.
Довідка. Логарифмічна шкала нерівномірна. Будується так: на осях прямокутної системи координат відкладаються десяткові логарифми чисел і. Через точки поділу, мають числові позначки і проводяться прямі паралельні осях і.
По осі ординат відкладається в децибелах. Вісь абсцис повинна проходити через точку 0 дб. що відповідає значенню = 1. Іноді по осі абсцис відкладається не як така частота (ріс.1.33, а), а її десятковий логарифм, (ріс.1.33, б). Одиницею збільшення частоти при побудові Лах є одна декада. Вісь ординат може перетинати вісь абсцис в довільному місці. На рис. 1.33, а вісь ординат перетинає вісь абсцис в точці. Необхідно пам'ятати, що точка розташована на осі частот зліва в нескінченності, так як ∞.
Головним достоїнством логарифмічних амплітудних частотних характеристик є можливість їх побудови в багатьох випадках без об'ємної обчислювальної роботи. Це відноситься в основному до випадків, коли частотна передаточна функція може бути представлена у вигляді твору співмножників. Розглянемо приклади побудови найпростіших Лах.
1. Нехай тоді. Логарифмічна характеристика являє собою пряму паралельну осі абсцис (див. Пряма 1 на рис. 1.33, а).
2. Розглянемо випадок, коли тоді. Неважко бачити, що - пряма лінія. Якщо. то. Якщо то = 0. Далі неважко побудувати пряму 2 (ріс.1.33, а) c координатами і. Видно, що зі збільшенням частоти на одну декаду зменшується на 20. тобто асимптота має негативний нахил рівний 20дБ / дк. Цей факт на графіку відзначений цифрою «-20». Відзначимо, що частота, при якій (при цьому) називається частотою зрізу і позначається.
3. Далі розглянемо випадок, коли З опорою на попередній випадок можемо записати. Видно, що в даному випадку Лах є пряму лінію з негативним нахилом рівним -40 (пряма 3 на ріс.1.33, а).
4. Нехай. тоді. Якщо. то. Неважко побачити, що - це пряма лінія, що проходить через точку з координатами і. Лінія має позитивний нахил +20. ріс.1.33, а.
Аналогічним чином можна показати, що в разі, коли Лах є пряму лінію з позитивним нахилом 20. Ця пряма також будується по одній точці, що має координати і.
5.2. Логарифмічні характеристики динамічних ланок
Апериодическое ланка 1 порядку. Вираз для амплітудно-частотної характеристики має вигляд
При побудові Лах використовується наступний прийом. Розглядаються вираження для АЧХ при частотах і.
Якщо. то. якщо. то. Частота називається сопрягающей і позначається.
В першому випадку . у другому випадку.
На ріс.1.34 представлені два варіанти Лах для розглянутого ланки. Цифрою 1 позначений варіант, відповідний даними. Цифрою 2 - варіант, відповідний даними с. Видно, що постійна часу не впливає на нахил ЛАХ. Змінюється лише значення для сопрягающей частоти. При Т = 1с. . при. .
Виконане побудова Лах є наближеним. Графік Лах складається з прямих відрізків, званих асимптотами. Наближеними є з'єднання асимптот в околиці сполучають частот. Наприклад, в точці (розглядається варіант, коли). При точному побудові точка розташовується нижче на 3,03. Це зауваження випливає з наступного.
Обчислимо значення в точці Для цього використовуємо значення частоти і формулу (1.70). В результаті можемо записати:. Помилка в цій точці становить 3.03. На всьому іншому протязі вліво і вправо від сопрягающей частоти точна Лах буде відрізнятися від наближеної (асимптотической) менш ніж на 3 Тому в розрахунках практично завжди застосовуються асимптотические Лах.
Апериодическое ланка 2 порядки. Вираз для амплітудно-частотної характеристики має вигляд
Приймемо, що і та знайдемо сполучають частоти і. Розрахунок показує, що.
Далі розглядаються три випадки.
1. Якщо (ріс.1.35), то приймається, що в натуральному вираженні (1.71) і В цьому випадку формула (1.71) набуває наступний спрощений вид. Отже, на ділянці зміни частоти ¸ Лах може бути побудована за висловом. Лах на цій ділянці є прямою паралельну осі абсцис. ріс.1.35;
2. Якщо. то приймається, що. а. У цьому випадку формула (1.65) може бути представлена вже в іншому спрощеному вигляді. Вираз для побудови ЛАХ виходить наступним. Цьому висловом відповідає асимптота з негативним нахилом 20дБ / дек .;
3. Якщо. то приймається, що і. У цьому випадку формула (1.71) може бути представлена також в спрощеному вигляді. Вираз для побудови ЛАХ виходить наступним. Цьому висловом відповідає асимптота з негативним кутом нахилу 40дБ / дек.
Інтегруюча ланка. Вираз для амплітудно-частотної характеристики має вигляд
Як і раніше побудова Лах необхідно починати з визначення сполучають частот. З виразу (1.72) видно, що сполучає, частота тут одна. Далі визначаються спрощені вирази для побудови ЛАХ. Якщо. то приймається, що і. Якщо. то і. Для частот ассімптота. Для частот асимптота.
На ріс.1.36 зображена Лах для інтегруючого ланки. Видно, що характеристика містить дві асимптоти з негативними кутами нахилу - 20дБ / дек і - 40дБ / дек. Для побудови першої асимптоти (на інтервалі частот) необхідно задати і обчислити. Далі через точку з координатами і до сопрягающей частоти проводиться асимптота з нахилом -20дб / дек. Друга асимптота (на інтервалі частот проводиться з негативним кутом нахилу 40дБ / дек.
Дифференцирующее ланка. Вираз для амплітудно-частотної характеристики має вигляд
Якщо. то приймається, що і. Якщо. то. і.
На рис. 1.36 зображена Лах дифференцирующего ланки.
Для побудови першої асимптоти (на інтервалі частот) обчислюють значення при. Далі через цю точку проводиться асимптота з позитивним кутом нахилу рівним 20дБ / дек. Друга асимптота (на інтервалі частот) проходить паралельно осі частот.
5.3. Побудова Лах і ЛФХ для складних передавальних функцій
З попереднього матеріалу випливає, що при побудові Лах для різних передавальних функцій виконуються одні й ті ж операції. Досвід побудови ЛАХ для складних передавальних функцій дозволяє зробити такий же висновок. Тому виявилося можливим скласти загальний порядок побудови ЛАХ для передавальних функцій виду
1. Визначення сполучають частот;
2. Нанесення низькочастотної асимптоти Лах
Це рівняння прямої з від'ємним кутом нахилом. де порядок астатизма в системі визначається числом інтегруючих ланок у регуляторі. Тривалість прямий - до першої сопрягающей частоти. Пряма при частоті повинна мати ординату. де коефіцієнт передачі.
Після кожної з сполучають частот змінюється нахил характеристики в порівнянні з нахилом, який вона мала до розглянутої сопрягающей частоти. Нахил змінюється на - 20 дб / дек в разі аперіодичної ланки, на - 40 дб / дек - в разі коливального ланки, +20 дб / дек - в разі дифференцирующего ланки 1 порядку, +40 дб / дек в разі дифференцирующего ланки другого порядку.
Приклад. Передавальна функція системи має вигляд
Потрібно побудувати ЛАХ.
Відповідно до наведеного вище порядком побудова Лах необхідно починати з визначення сполучають частот. Дані сполучають частот. . . наносяться на графік. Мал. 1.37. Далі на графік наноситься низькочастотна асимптота. Передавальна функція (1.76) відноситься до системи з астатизмом нульового порядку. Це означає, що в рівнянні (1.75) множник тому низькочастотна асимптота є прямою паралельну осі частот. Асимптота закінчується в точці. Сполучаються частота належить аперіодичної ланки. Отже, наступна асимптота матиме негативний кут нахилу рівний -20 дб / дек. Асимптота закінчується в точці. Сполучаються частота = також належить аперіодичної ланки. Тому наступна асимптота матиме негативний кут нахилу рівний вже -40 дб / дек. Цей кут є результатом підсумовування кутів нахилу попередньої і розглянутої асимптот. Асимптота закінчується в точці. Сполучаються частота теж належить аперіодичної ланки. Тому наступна асимптота матиме кут нахилу - 60 дб / дек. Асимптота закінчується в точці. Сполучаються частота належить диференціюється ланці, тому кут нахилу черговий і останній асимптоти збільшиться на 20 дб / дек і складе - 40 дб / дек.
Для побудови логарифмічною фазовою частотною характеристики (ЛФХ) використовується та ж вісь частот, що і для побудови ЛАХ. По осі ординат відкладається зміщення по фазі в градусах. Однак, прийнято точку «0» дб. поєднати з точкою, де зсув по фазі одно - 180 0. При цьому негативний зсув по фазі відкладається по осі ординат вгору, а позитивний вниз, ріс.1.37, а.
Розглянемо приклад. Нехай потрібно побудувати ЛФХ для системи з передавальної функцією (1.76). Вираз для фазової частотної характеристики має вигляд
y () = - arc tan 10 - arc tan - arc tan 0.005 + arc tan 0.25. (1.77)