Кожне число, розташоване в фігурі поза вихідного квадрата, переноситься по вертикалі або горизонталі всередину вихідного квадрата в найвіддаленішу клітку (на n клітин).
Способи заповнення магічних квадратів порядку, кратного чотирьом
Універсальні методи складання магічних квадратів довільного парного порядку поки невідомі. Однак, розроблені індивідуальні підходи для різних окремих випадків. Нижче розглянуто метод складання магічних квадратів, порядок кратний 4. Цей метод зручно розглянути на прикладі магічного квадрата 8-го порядку з натуральних чисел від 1 до 64. Метод включає наступну послідовність кроків.
1. Вихідний квадрат ділиться на відповідне число квадратів порядку 4. В даному випадку таких квадратів буде 4. У кожному подквадрате закрашуються діагональні елементи (головна і побічна).
2. Інші елементи через підрядник заповнюються порядковими цілими числами в напрямку зліва -направо і зверху-вниз по зафарбовані клітинам і праворуч -налево і знизу-вгору по які зафарбовані клітинам.
3. Перехід між квітами при заповненні відбувається, якщо наступна для заповнення клітина змінює колір
3.Реалізація способів заповнення магічних квадратів
Так як для складання магічних квадратів необхідно завжди перевіряти контрольні суми по рядках, стовпцях і діагоналях, ми прийшли до висновку, що цей процес краще автоматизувати. Для автоматизації ми вибрали програму Excel.
Використовуючи функцію автосуммирования, ми підготували шаблони для обчислення контрольних сум магічних квадратів 3, 5 і 7 порядку по кожному з методів. А для методу Ф.де ла Іра ще й обчислення елементів третього квадрата, як сум відповідних елементів перших двох квадратів.
В ході експериментальної частини за методом Ф.де ла Іра. ми помітили, що в перших двох квадратах, елементи на ламаних диагоналях рівні, і прийшли в висновку, що процес заповнення цих квадратів можна також автоматизувати. Досить вказати тільки по одному елементу на кожній з ламаної діагоналі.
Також для квадрата заданого порядку однозначні елементи на виділених головних діагоналях, згідно з алгоритмом заповнення, тому їх також можна занести в шаблон заповнення.
Внісши ці доповнення в шаблон, ми отримали наступну заготовку для магічних квадратів:
Тепер досить у першому квадраті на головній діагоналі (в рожевих клітинах) розмістити елементи з 1 до n. А в другому квадраті в першому стовпці (так само в рожевих клітинах) елементи, кратні порядку квадрата.
В ході експериментальної частини за способом добудовування до симетричною ступінчастою ромбоподібної фігури, ми помітили, процес перенесення чисел, що вийшли за поле квадрата, також можна автоматизувати.
Елементи по діагоналі кожен раз збільшуються на одиницю від попереднього елемента, що стоїть в цій діагоналі. З огляду на це, досить вручну ввести тільки перші їх елементи, а всі інші розрахувати за формулами.
Внісши ці доповнення в шаблон, ми отримали наступну заготовку для магічних квадратів даними способом:
Для побудови магічного квадрата, в клітини рожевого кольору внесемо перших n чисел, які при діленні на порядок квадрата дають в залишку 1.
Для сіамського методу також можна автоматизувати заповнення і перенесення чисел, які вийшли за межі квадрата.
4.Ісследованіе кількості решеніймагіческіх квадратів.
Вивчаючи літературу по темі, ми встановили факт, що зі збільшенням розмірів квадрата швидко зростає кількість можливих магічних квадратів. Так, наприклад, для 3 порядку - єдиний, для 4 - 880, для 5 - наближається до чверті мільйона.
Вивчивши алгоритми заповнення магічних квадратів, нам захотілося експериментувати: що станеться, якщо ми поміняємо місцями елементи? Чи вийде магічна сума? Отримаємо ми такий же квадрат або інший?
Ось деякі магічні квадрати, отримані методом Ф.де ла Іра.
Можна помітити, що всі ці квадрати різні. Це лише мала частка з усіх можливих квадратів. За допомогою програми Excel і підготовлених нами шаблонів, на їх побудову у нас йде кілька секунд.
1. Магічний квадрат - давньокитайського походження.
2. Універсального способу заповнення магічних квадратів немає.
3. Спосіб заповнення магічного квадрата, залежить від його порядку.
4. Для квадратів непарного порядку існує 3 способи: метод Ф.де ла Іра (на двох квадратах), метод А. де ла Лубер (сіамський метод) і добудовування до симетричною ступінчастою ромбоподібної фігури.
5. Для квадратів, порядок яких кратний 4 існує спосіб розбиття на подквадрата близько 4.
6. Відомі методи для заповнення непарних квадратів можна автоматизувати. Для цього ідеально підходить програма Excel.
7. Ефективні шаблони виходять для двох методів: Ф.де ла Іра і добудовування до симетричною ступінчастою ромбоподібної фігури.
8. За допомогою підготовлених нами шаблонів можна створювати різні магічні квадрати для одного і того ж порядку.
Використані Інтернет-ресурсиі література:
4. І. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За сторінками підручника математики. Москва. Просвітництво. 1989р.