квадратна таблиця з цілих чисел, в якій суми чисел вздовж будь-якого рядка, будь-якого стовпця і будь-який з двох головних діагоналей дорівнюють одному і тому ж числу.
Магічний квадрат - давньокитайського походження. Згідно з легендою, за часів правління імператора Ю (бл. 2200 до н.е.) з вод Хуанхе (Жовтої ріки) спливла священна черепаха, на панцирі якої були написані таємничі ієрогліфи (рис. 1, а), і ці знаки відомі під назвою ло-шу і рівносильні магічного квадрату, зображеному на рис. 1, б. У 11 ст. про магічні квадратах дізналися в Індії, а потім в Японії, де в 16 ст. магічним квадратах була присвячена велика література. Європейців з магічними квадратами познайомив в 15 в. візантійський письменник Е.Мосхопулос. Першим квадратом, придуманим європейцем, вважається квадрат А.Дюрера (рис. 2), зображений на його знаменитій гравюрі Меланхолія 1. Дата створення гравюри (1514) вказана числами, що стоять в двох центральних клітинах нижнього рядка. Магічним квадратах приписували різні містичні властивості. У 16 ст. Корнелій Генріх Агріппа побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го та 9-го порядків, які були пов'язані з астрологією 7 планет. Існувало повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть сьогодні серед атрибутів європейських віщунів можна побачити магічні квадрати.
У 19 і 20 ст. інтерес до магічних квадратах спалахнув з новою силою. Їх стали досліджувати за допомогою методів вищої алгебри та операційного числення.
Кожен елемент магічного квадрата називається клітиною. Квадрат, сторона якого складається з n клітин, містить n2 клітин і називається квадратом n-го порядку. У більшості магічних квадратів використовуються перші n послідовних натуральних чисел. Сума S чисел, що стоять в кожному рядку, кожному стовпці і на будь-який діагоналі, називається постійної квадрата і дорівнює S = n (n2 + 1) / 2. Доведено, що n. 3. Для квадрата 3-го порядку S = 15, 4-го порядку - S = 34, 5-го порядку - S = 65.
Дві діагоналі, що проходять через центр квадрата, називаються головними діагоналями. Ламаної називається діагональ, яка, дійшовши до краю квадрата, триває паралельно першому відрізку від протилежного краю (таку діагональ утворюють заштриховані клітини на рис. 3). Клітини, симетричні щодо центру квадрата, називаються кососімметрічнимі. Такі, наприклад, клітини a і b на рис. 3.
Магічні квадрати непарного порядку можна побудувати за допомогою методу французького геометра 17 в. А. де ла Лубер. Розглянемо цей метод на прикладі квадрата 5-го порядку (рис. 4). Число 1 поміщається в центральну клітку верхнього рядка. Всі натуральні числа розташовуються в природному порядку циклічно знизу вгору в клітинах діагоналей справа наліво. Дійшовши до верхнього краю квадрата (як у випадку числа 1), продовжуємо заповнювати діагональ, що починається від нижньої клітини у наступній колонці. Дійшовши до правого краю квадрата (число 3), продовжуємо заповнювати діагональ, що йде від лівої клітини рядком вище. Дійшовши до заповненої клітини (число 5) або кута (число 15), траєкторія спускається на одну клітку вниз, після чого процес заповнення триває.
Метод Ф.де ла Іра (1640-1718) заснований на двох початкових квадратах. На рис. 5 показано, як за допомогою цього методу будується квадрат 5-го порядку. У клітку першого квадрата вписуються числа від 1 до 5 так, що число 3 повторюється в клітинах головної діагоналі, що йде вправо вгору, і жодне число не зустрічається двічі в одному рядку або в одному стовпці. Те ж саме ми робимо з числами 0, 5, 10, 15, 20 з тією лише різницею, що число 10 тепер повторюється в клітинах головної діагоналі, що йде зверху вниз (рис. 5, б). Поклеточного сума цих двох квадратів (рис. 5, в) утворює магічний квадрат. Цей метод використовується і при побудові квадратів парного порядку.
Якщо відомий спосіб побудови квадратів порядку m і порядку n, то можна побудувати квадрат порядку m? N. Суть цього способу показана на рис. 6. Тут m = 3 і n = 3. Більший квадрат 3-го порядку (з числами, поміченими штрихами) будується методом де ла Лубер. У клітку з числом 1. (центральну клітку верхнього ряду) вписується квадрат 3-го порядку з чисел від 1 до 9, також побудований методом де ла Лубер. У клітку з числом 2. (праву в нижньому рядку) вписується квадрат 3-го порядку з числами від 10 до 18; в клітку з числом 3. - квадрат з чисел від 19 до 27 і т.д. В результаті ми отримаємо квадрат 9-го порядку. Такі квадрати називаються складовими.