Отримаємо одиниці на головній діагоналі. Для цього всю рядок ділимо на відповідний елемент головної діагоналі:
Тепер вихідну систему можна записати як:
X1 = 1/4 - (1 / 4x2 - 3 / 4x3)
3-й рядок є лінійною комбінацією інших рядків.
Необхідно змінну x3 прийняти в якості вільної змінної і через неї висловити інші змінні.
Прирівняємо змінну x3 до 0
З 2-го рядка висловлюємо x2
З 1-го рядка висловлюємо x1
Б) Метод Крамера
Запишемо систему у вигляді:
# 8710; = 4 • (1 • (-2) -0 • (-1)) - 3 • (1 • (-2) -0 • (-3)) + 1 • (1 • (-1) -1 • ( -3)) = 0
Визначник дорівнює 0. Система має безліч рішень.
С) метод оберненої матриці
Дана система рівнянь приймає наступну матричну форму: А * Х = B.
Якщо матриця А - невироджена (її визначник відмінний від нуля, то вона має обернену матрицю А-1. Помноживши обидві частини рівняння на А-1, отримаємо: А-1 * А * Х = А-1 * B, А-1 * А = Е.
Це рівність називається Матричної записом рішення системи лінійних рівнянь. Для знаходження рішення системи рівнянь необхідно обчислити обернену матрицю А-1.
Визначник матриці A дорівнює 0. Таким чином, матриці A - Вироджена. т. е. система має безліч рішень.
Пряма, що проходить через точки A1 (x1; y1; z1) і A2 (x2; y2; z2), представляється рівняннями:
Рівняння прямої A1A2 (3,0, -12)
Якщо точки A1 (x1; y1; z1), A2 (x2; y2; z2), A3 (x3; y3; z3) чи не лежать на одній прямій, то проходить через них площину представляється рівнянням:
Рівняння площини A1A2A3
(X-2) (0 • 2 - (- 1) • (-12)) - (y-3) (3 • 2 - (- 1) • (-12)) + (z-5) (3 • (-1) - (- 1) • 0) = -12x + 6y-3z + 21 = 0
Спростимо вираз: -4x + 2y - z + 7 = 0
Рівняння висоти піраміди через вершину А4М, перепендикулярно площині A1A2A3
Пряма, що проходить через точку M0 (x0; y0; z0) і перпендикулярна площині Ax + By + Cz + D = 0 має направляючий вектор (A; B; C) і, значить, є симетричними рівняннями:
Рівняння площини A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0
Рівняння прямої А3Nпараллельно прямий А1А2 в координатної формі
Так як рівняння вектор A1A2 (3; 0; -12)
Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору A1A2
Рівняння площини, що проходить через точку M0 (x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l, m, n), має вигляд:
L (x - x0) + m (y - y0) + n (z - z0) = 0
Координати точки A4 (4; 2; 0)
Координати вектора A1A2 (3; 0; -12)
3 (x - 4) + 0 (y - 2) + (-12) (z - 0) = 0
Шукане рівняння площині: 3x - 12z-12 = 0
Спростимо вираз: x - 4z-4 = 0
Кут між прямою A1A4 і площиною A1A2A3
Синус кута між прямою з направляючими коефіцієнтами (l; m; n) і площиною з нормальним вектором N (A; B; C) можна знайти за формулою:
Рівняння площини A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0
Рівняння прямої A1A4:
Кут між площиною ОХУ і площиною A1A2A3
Косинус кута між площиною A1x + B1y + C1 + D = 0 і площиною A2x + B2y + C2 + D = 0 дорівнює куту між їх нормальними векторами N1 (A1, B1, C1) і N2 (A2, B2, C2):
Рівняння площини ОХУ: z = 0
Рівняння площини A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0
Канонічне рівняння еліпса,
Ексцентриситет. За умовою, тоді
Маємо і за умовою. тоді
Канонічне рівняння гіперболи
За умовою, асимптоти,
Тоді, з рівняння