Матриця лінійного відображення

Попередня ↔ Наступна

визначення

Визначення 1. Нехай

$Матриця лінійного відображення$

і

$Матриця лінійного відображення$

- скінченномірні векторні простору над полем

$Матриця лінійного відображення$

з базисами

$Матриця лінійного відображення$

і

$Матриця лінійного відображення$

відповідно. Розглянемо лінійне відображення

$Матриця лінійного відображення$

. тоді

$Матриця лінійного відображення$

можна представити у вигляді

$Матриця лінійного відображення$

для деяких

$Матриця лінійного відображення$

. матриця

$Матриця лінійного відображення$

називається матрицею лінійного відображення 1)

$Матриця лінійного відображення$

в базисах

$Матриця лінійного відображення$

і

$Матриця лінійного відображення$

. Стовпцями цієї матриці є координати векторів

$Матриця лінійного відображення$

в базисі

$Матриця лінійного відображення$

.

Нехай довільний вектор

$Матриця лінійного відображення$

має наступні координати в розкладанні по базису

$Матриця лінійного відображення$

,

$Матриця лінійного відображення$

, тоді його образ

$Матриця лінійного відображення$

з простору

$Матриця лінійного відображення$

в базисі

$Матриця лінійного відображення$

має розкладання

$Матриця лінійного відображення$

, де

$Матриця лінійного відображення$

. Тобто

$Матриця лінійного відображення$

.

Пропозиція 1. Існує взаємно однозначне відображення між безліччю всіх лінійних відображень з

$Матриця лінійного відображення$

-мірного векторного простору

$Матриця лінійного відображення$

в

$Матриця лінійного відображення$

-мірне векторний простір

$Матриця лінійного відображення$

з фіксованими базисами і безліччю матриць розміру

$Матриця лінійного відображення$

.

Визначення 2.Матріца лінійного оператора 2) - це матриця лінійного відображення в разі, коли

$Матриця лінійного відображення$

.

Приклад 1. Нехай

$Матриця лінійного відображення$

- базис

$Матриця лінійного відображення$

-мірного векторного простору

$Матриця лінійного відображення$

. Розглянемо тотожний 3) лінійний оператор

$Матриця лінійного відображення$

. Так як

$Матриця лінійного відображення$

, то матриця

$Матриця лінійного відображення$

- це в точності одинична матриця

$Матриця лінійного відображення$

.

Пропозиція 2. Нехай

$Матриця лінійного відображення$

- скінченномірні векторні простору,

$Матриця лінійного відображення$

і

$Матриця лінійного відображення$

- лінійні відображення. тоді

$Матриця лінійного відображення$

.

Множенням двох лінійних операторів

$Матриця лінійного відображення$

і

$Матриця лінійного відображення$

на просторі

$Матриця лінійного відображення$

вважатимемо їх композицію:

$Матриця лінійного відображення$

. тоді справедливо

Пропозиція 3. Простір лінійних операторів

$Матриця лінійного відображення$

є асоціативної алгеброю над полем

$Матриця лінійного відображення$

. У разі, якщо простір

$Матриця лінійного відображення$

конечномерного, алгебра

$Матриця лінійного відображення$

ізоморфна алгебрі всіх матриць порядку

$Матриця лінійного відображення$

над полем

$Матриця лінійного відображення$

. Ізоморфізм задається відображенням

$Матриця лінійного відображення$

.

література